Resolva o sistema não diagonal

y_1^' = y_1 + y_2

y_2^' = y_2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

As equações diferenciais mais simples são as equações de primeira ordem da forma:

y^' = a y

Vamos considerar o sistema de equação não diagonalizável fornecido:

y_1^' = y_1 + y_2

y_2^' = y_2

Vamos trabalhar primeiro com a segunda equação. Temos que:

(d y_2)/(d x) = y_2

Separando os termos, temos que:

(d y_2)/(y_2) = d x

Integrando os dois lados, temos que:

ln ( y_2 ) = x + C_1

Aplicando o exponencial em ambos os lados, temos que:

e^(ln (y_2)) = e^(x + C_1)

y_2 = C_1 e^x

Passo 2

Agora vamos trabalhar com a primeira equação. Já sabemos que y_2 = C_1 e^x , portanto:

y_1^' = y_1 + C_1 e^x

Multiplicando os dois lados por e^(- x) , temos que:

e^(- x) y_1^' = e^(- x) y_1 + C_1

(d)/(d x) [e^(- x) y_1] = C_1

Integrando os dois lados, temos que:

e^(- x) y_1 = C_1 x + C_2

y_1 = C_1 x e^x + C_2 e^x

Portanto, podemos dizer que a solução do sistema não diagonalizável é dada por:

y_1 = C_1 x e^x + C_2 e^x

y_2 = C_1 e^x

Resposta

y_1 = C_1 x e^x + C_2 e^x

y_2 = C_1 e^x

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