1. Reescrevendo 11 em forma matricial, mostre que a solução do sistema no Exemplo 2 pode ser expressa por
  2. y = c 1 e 2 x 1 1 + c 2 e - 3 x - 1 4 1

    Essa solução é denominada solução geral do sistema.

  3. Observe que, na parte (a), o vetor no primeiro termo é um autovetor associado ao autovalor λ 1 = 2 , e o vetor no segundo termo é um autovetor associado ao autovalor λ 2 = - 3 . Isso é um caso especial do resultado geral a seguir.

Prove esse resultado seguindo o procedimento de quatro passos discutido antes do Exemplo 2 com

D = λ 1 0 ⋮ 0       0 λ 2 ⋮ 0       ⋯ ⋯ ⋯ ⋯       0 0 ⋮ λ n   e   P = x 1 x 2 ⋯ | x n

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Item (a):

A solução do sistema é dada por:

y 1 ' = y 1 + y 2

y 1 ' = 4 y 1 - 2 y 2

Assim:

y 1 = c 1 e 2 x - 1 4 c 2 e - 3 x

y 2 = c 1 e 2 x + c 2 e - 3 x

Logo:

y = 1 1 c 1 e 2 x + - 1 4 1 c 2 e 3 x

Se y 1 e y 2 são duas soluções linearmente independentes de sistemas para 2 equações, temos que y = c 1 y 1 + c 2 y 2 é a solução geral do sistema.

Passo 2

Item (b):

Observe que na parte (a), o vetor no primeiro termo é um vetor de Eigen correspondente ao valor λ 1 = 2 , e o vetor no segundo termo é um vetor próprio correspondente ao valor λ 2 = - 3 .

E se:

D = λ 1 0 ⋮ 0       0 λ 2 ⋮ 0       ⋯ ⋯ ⋯ ⋯       0 0 ⋮ λ n

Temos que:

u ' = D u

u 1 ' u 2 ' ⋮ u n ' = λ 1 0 ⋮ 0       0 λ 2 ⋮ 0       ⋯ ⋯ ⋯ ⋯       0 0 ⋮ λ n u 1 u 2 ⋮ u n

Desenvolvendo, temos que:

u 1 ' = λ u 1

u 2 ' = λ u 2

u n ' = λ u n

E:

u 1 = c 1 e λ 1 x

u 2 = c 2 e λ 2 x

u n = c n e λ n x

Portanto, y = P u é a solução dos sistemas:

Y = A X

Y = c 1 e λ 1 x X 1 + c 2 e λ 2 x X 2 + ⋯ + c n e λ n x X 3

Quando X 1 é um vetor Eigen de A correspondente a λ i 1 ≤ i ≤ n .

Resposta

  1. y = 1 1 c 1 e 2 x + - 1 4 1 c 2 e 3 x
  2. Y = c 1 e λ 1 x X 1 + c 2 e λ 2 x X 2 + ⋯ + c n e λ n x X 3
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