Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 10

  1. Reescrevendo 11 em forma matricial, mostre que a solução do sistema no Exemplo 2 pode ser expressa por

    2. y = c 1 e 2 x 1 1 + c 2 e - 3 x - 1 4 1

    Essa solução é denominada solução geral do sistema.

  2. Observe que, na parte (a), o vetor no primeiro termo é um autovetor associado ao autovalor λ 1 = 2 , e o vetor no segundo termo é um autovetor associado ao autovalor λ 2 = - 3 . Isso é um caso especial do resultado geral a seguir.

Prove esse resultado seguindo o procedimento de quatro passos discutido antes do Exemplo 2 com

D = λ 1 0 ⋮ 0       0 λ 2 ⋮ 0       ⋯ ⋯ ⋯ ⋯       0 0 ⋮ λ n   e   P = x 1 x 2 ⋯ | x n

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Item (a):

A solução do sistema é dada por:

y 1 ' = y 1 + y 2

y 1 ' = 4 y 1 - 2 y 2

Assim:

y 1 = c 1 e 2 x - 1 4 c 2 e - 3 x

y 2 = c 1 e 2 x + c 2 e - 3 x

Logo:

y = 1 1 c 1 e 2 x + - 1 4 1 c 2 e 3 x

Se y 1 e y 2 são duas soluções linearmente independentes de sistemas para 2 equações, temos que y = c 1 y 1 + c 2 y 2 é a solução geral do sistema.

Passo 2

Item (b):

Observe que na parte (a), o vetor no primeiro termo é um vetor de Eigen correspondente ao valor λ 1 = 2 , e o vetor no segundo termo é um vetor próprio correspondente ao valor λ 2 = - 3 .

E se:

D = λ 1 0 ⋮ 0       0 λ 2 ⋮ 0       ⋯ ⋯ ⋯ ⋯       0 0 ⋮ λ n

Temos que:

u ' = D u

u 1 ' u 2 ' ⋮ u n ' = λ 1 0 ⋮ 0       0 λ 2 ⋮ 0       ⋯ ⋯ ⋯ ⋯       0 0 ⋮ λ n u 1 u 2 ⋮ u n

Desenvolvendo, temos que:

u 1 ' = λ u 1

u 2 ' = λ u 2

u n ' = λ u n

E:

u 1 = c 1 e λ 1 x

u 2 = c 2 e λ 2 x

u n = c n e λ n x

Portanto, y = P u é a solução dos sistemas:

Y = A X

Y = c 1 e λ 1 x X 1 + c 2 e λ 2 x X 2 + ⋯ + c n e λ n x X 3

Quando X 1 é um vetor Eigen de A correspondente a λ i 1 ≤ i ≤ n .

Resposta

  1. y = 1 1 c 1 e 2 x + - 1 4 1 c 2 e 3 x
  2. Y = c 1 e λ 1 x X 1 + c 2 e λ 2 x X 2 + ⋯ + c n e λ n x X 3
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que se A for diagonalizável e y = y 1 y 2 ⋮ y n É uma solução do sistema y = A y → , então cada y i é uma combinação linear e λ 1 x ,e λ 2 x , … , e λ n x , onde λ 1 , λ 2 , … ,λ n são os autov
Mostre que qualquer solução de y ' = a y tem a forma y = c e α x .
Às vezes, é possível resolver uma só equação diferencial linear de coeficientes constantes de ordem superior expressando-a como um sistema e usando os métodos desta seção. Para a equação y ' ' - y ' -
Explique como o procedimento do Exercício 7 poderia ser usado para resolver y ' ' ' - 6 y ' ' + 11 y ' - 6 y = 0 . Use sua ideia para resolver a equação.
Use o procedimento do exercício 7 para resolver y " + y ' - 12 y = 0