Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 4
Resolva o sistema
Passo 1
A gente tem o sistema:
Colocando em forma matricial temos:
Então, a matriz de coeficientes é:
Passo 2
Primeiro vamos encontrar os autovalores da matriz de coeficientes:
Aplicamos os valores:
Calculamos o determinante:
Desenvolvemos o polinômio:
Para resolver a equação temos que tentar dividir o polinômio. Como o valor livre é vamos tentar dividir o polinômio por múltiplos de 32: etc.
Assim, percebe-se que:
Então os autovalores são:
Passo 3
E agora vamos calcular os autovetores e a base dos autos espaços pela relação.
Para
Perceba que todas as linhas são iguais, então podemos eliminar a segunda e terceira linhas. Vamos aproveitar e dividir a primeira linha por
Logo:
Então, vamos chamar de e de :
O autovalor será:
Como o autovalor aparece duas vezes, então ele terá duas bases de autoespaço
Passo 4
Para
Vamos utilizar eliminação Gaussiana.
Vamos pegar a primeira linha, dividir por e somar na segunda e terceira linhas:
A segunda e terceira linha são múltiplos escalares entre si, então podemos eliminar a terceira linha. Vamos aproveitar e também dividir a primeira linha por e a terceira linha por
E agora vamos pegar a segunda linha e somar na primeira linha:
E por fim, dividimos a primeira linha por :
Chegamos em:
Se chamarmos então e
Logo, o autovetor e a base do auto espaço são:
Passo 5
Vamos utilizar as bases dos autovetores para determinar a matriz P:
E agora vamos diagonalizar a matriz A, para isso basta utilizarmos os autovalores:
Passo 6
Agora vamos resolver o sistema diagonal:
Efetuando o produto matricial:
Pela solução geral de equações diferenciais, podemos assumir que:
Logo:
Passo 7
Agora vamos calcular a equação diferencial:
Vamos aplicar:
Efetuando a multiplicação matricial chegamos na solução das equações:
Podemos expressar como:
Passo 8
Item B)
A questão nos afirma que quando , então
Chegamos em:
Resolvendo esse sistema:
As equações se tornam: