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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 6.Exercícios Propostos - Ex. 1

Dados A   =   ( 3 , - 1,2 ) , B   =   ( 1,2 , - 1 ) e C   =   ( - 1,1 , - 3 ) e D   =   ( 3 , - 5,3 ) , identifique o quadrilátero A B C D . (Diga se é quadrado, losango, trapézio, paralelogramo, reverso, equilátero, equiângulo, …).

Passo 1

Fala, pessoal, vamos começar essa questão identificando os vetores A B , → C D → , A D → e B C → que são os vetores que formam nosso quadrilátero. Como todos os pontos são dados na questão, então temos:

A B   → =   B   -   A   =   ( 1,2 , - 1 )   -   ( 3 , - 1,2 )   ⇒   A B   → =   ( - 2,3 , - 3 )

C D   → =   D   - C   =   ( 3 , - 5,3 )   -   ( - 1,1 , - 3 )   ⇒   C D   → =   ( 4 , - 6,9 )

A D   → =   D   -   A   =   ( 3 , - 5,3 )   - ( 3 , - 1,2 )   ⇒   A D   → =   ( 0 , - 4,1 )

B C   → =   C   - B   = ( - 1,1 , - 3 ) - ( 1,2 , - 1 )   ⇒   B C   → =   ( - 2 , - 1 , - 2 )

Passo 2

De posse dos vetores que formarão a figura é preciso analisar a relação entre eles. Para isso, analisaremos se A B   → e D C   → ou B C   → e   A D   → são paralelos entre si.

De A B   → =   ( - 2,3 , - 3 ) e D C   → = ( - 4,6 , - 9 ) notamos que podemos escrever a seguinte relação: A B   →   =   α D C   → , onde α   =   2 e A B   → e D C   → são paralelos.

Para B C   → =   ( - 2 , - 1 , - 2 ) e A D   → =   ( 0 , - 4,1 ) temos que A B   →   ≠   α D C   → .

Além disso

| A B |   → = ( - 2,3 , - 3 )   ⋅   ( - 2,3 , - 3 )   =   4   +   9   +   9   =   22 ;

| D C |   → = ( - 4,6 , - 9 )   ⋅   ( - 4,6 , - 9 )   =   16   +   36   +   81   =   133 e

| B C |   → =   ( - 2 , - 1 , - 2 )   . ( - 2 , - 1 , - 2 )   = 4   + 1   +   4   =   9   =   3 ;

| A D |   → =   ( 0 , - 4,1 )   . ( 0 , - 4,1 )   = 0   + 16   + 1   =   17  

Com isso, podemos afirmar que a figura formada é de um trapézio pois as bases são paralelas e as laterais não. Anulando a possibilidade de um quadrado.

Resposta

trapézio

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Faça um esboço das retas a seguir: d) (x , y , z) = (1,2 + 2 t , (5)/(2) + (3)/(2) t) .
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Faça um esboço das retas a seguir: c) (x , y , z) = (1 + t , 2,3 + 2 t) .
Faça um esboço das retas a seguir: g) (x , y , z) = (1,2 + 2 t , 3) .
Faça um esboço das retas a seguir: e) (x , y , z) = (2 + 2 t , 3 + t , 3) .