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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 8.Exercícios Propostos - Ex. 7

Calcule a de modo que o plano x   + y   + z   =   a seja tangente à superfície esférica x 2   +   y 2 + z 2   - 2 x   + y   - 2 z   = 6 .

Passo 1

Galera, pra começar essa questão é preciso obter a forma reduzida da superfície esférica. Assim,

x 2   +   y 2 + z 2   - 2 x   + y   - 2 z   = 6

⇒ x 2 - 2 x   + 1 - 1 +   y 2 + y + z 2 - 2 z   + 1   - 1 = 6   ( s o m a n d o   e   s u b t r a i n d o   1   d u a s   v e z e s )

⇒ ( x - 1 ) 2 +   y 2 + y + 1 4   - 1 4   +   ( z - 1 ) 2   = 8   ( s o m a n d o   e   s u b t r a i n d o   1 4 )

⇒ ( x - 1 ) 2 + ( y   + 1 2 ) 2 + ( z - 1 ) 2   = 8   +   1 4

⇒ ( x - 1 ) 2 + ( y   + 1 2 ) 2 + ( z - 1 ) 2   = 33 4

Então, temos posse da equação da superfície esférica, cujo centro está no ponto C   =   ( 1 , - 1 2 , 1 ) e, reescrevendo a equação do plano: π :   x   + y   + z   -   a   =   0 , temos que n →   =   ( 1,1 , 1 ) e d   =   - a .

Já sabemos que buscamos o valor de a para que o plano seja tangente à superfície da esfera. Assim, nesse ponto, temos que a distância do plano ao centro é o próprio raio. Daí, podemos aplicar a equação da distância, uma velha conhecida nossa:

r   =   d ( C ,   π )   ⇒   33 4   =   | 1 ⋅ 1   +   1 ⋅ ( - 1 2 )   +   1 ⋅ 1   -   a | 1 + 1 + 1   ⇒ 33 3   2   =   | 3 2   - a |   ⇒ a   =   3   ±   3 11 2   .

No entanto devemos ficar atento ao fato de que haverá dois planos tangentes à esfera e haverá um vetor C P →   =   α n → (paralelo). Com isso, α poderá assumir um valor positivo para o plano superior e outro valor negativo, mais igual em módulo, para o plano inferior. E isso afetará o sinal de a   .

Portanto, os valores possíveis para a são:

a   =   3   +   3 11 2 ( a   > 0 )  

a   =   3   -   3 11 2   ( a   < 0 )

Resposta

a   =   3   ±   3 11 2

Exercícios de Livros Relacionados

Obtenha uma equação geral do plano que contém os pontos P = 1,1 , - 1 e Q = 1,2 , 1 e tangencia a superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 - 4 x - 2 y - 4 z + 8 = 0 .
Obtenha a equação reduzida da superfície esférica que contém a circunferência Γ e tem raio ρ . Γ : x + 3 2 + y + 1 2 + z - 1 2 = 10 x - 2 y + 2 z - 4 = 0 ρ = 5 Γ : x - 5 2 + y - 2 2 + z - 1 2 = 14 x +
Em cada caso, obtenha uma equação da superfície esférica tangente aos planos π 1 e π 2 , sabendo que T é um dos pontos de tangência. π 1 : x = 0π 2 : 3 x + y + z - 2 = 0T = 0,2 , - 1 π 1 : 6 x - 3 y -
Obtenha os planos tangentes à superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 = 1 que contêm a reta interseção dos planos π 1 : x + y + z = 0 e π 2 : x - y - z - 2 = 0 .
Determine os valores máximo e mínimo atingidos pela expressão x - 2 y + z (e os pontos X m á x á e X m í n í em que ocorrem) quando X percorre a superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 = 6 .