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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 1.O tratamento algébrico - Ex. 21b

Dados os pontos A ( - 4,3 ) e B ( 2,1 ) , encontrar o ponto P nos casos:

b)P é equidistante de A e B e sua ordenada é o dobro da abscissa

Passo 1

O enunciado diz que a ordenada é o dobro da abscissa, então temos que:

P ( x , 2 x )

E que a distancia entre dois pontos é dada da forma:

d A , P = x P - x A 2 + y P - y A 2

d B , P = x P - x B 2 + y P - y B 2

E como eles são equidistantes, temos que

d A , P = d ( B , P )

Passo 2

Substituindo os dados que temos, as distancias ficam assim:

d A , P = x - ( - 4 ) 2 + 2 x - 3 2

d A , P = x + 4 2 + 2 x - 3 2

d B , P = x - 2 2 + 2 x - 1 2

Passo 3

Como o ponto P é equidistante de A e B, suas distancias são iguais, igualando as distancias temos:

x + 4 2 + 2 x - 3 2 = x - 2 2 + 2 x - 1 2

Elevando tudo ao quadrado, ficamos com:

x + 4 2 + 2 x - 3 2 = x - 2 2 + 2 x - 1 2

x 2 + 8 x + 16 + 4 x 2 - 12 x + 9 = x 2 - 4 x + 4 + 4 x 2 - 4 x + 1

5 x 2 - 4 x + 25 = 5 x 2 - 8 x + 5

4 x = - 20

x = - 5

Como a coordenada de P é ( x , 2 x ) , temos que:

P = ( - 5 , - 10 )

Resposta

P = ( - 5 , - 10 )

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