Enunciado

Determina o ângulo entre os seguintes planos:

b) pi_1 : x - y + 4 = 0 e pi_2 : 2 x - y - z = 0

Passo 1

Para encontrar o ângulo formado entre os planos temos que utilizar a seguinte equação.

cos theta = (| vec n_1 . vec n_2 |)/(|vec n_1| . | vec n_2 |)

Lembrando que vec n_1 é vetor normal da equação geral plano r_1 e vec n_2 é o vetor normal da equação geral do plano r_2 . Os termos dos vetores são os coeficientes relacionados a x , y e z de cada equação. Sendo assim.

vec n_1 = (1 , - 1,0)

vec n_2 = ( 2 , - 1 , - 1 )

Passo 2

Substituindo vec n_1 e vec n_2 .

cos theta = (| (1 , - 1,0) . ( 2 , - 1 , - 1 ) |)/(|(1 , - 1,0)| . | ( 2 , - 1 , - 1 ) |)

Resolvendo os termos separadamente, temos.

|vec n_1 . vec n_2| = |(1 , - 1,0) . (2 , - 1 , - 1)| = |1.2 + (- 1) . (- 1) + 0 (- 1)| = |2 + 1 + 0| = 3

|vec n_1| = sqrt(1^2 + (- 1)^2 + 0 ²) = sqrt(2) = sqrt(2)

|vec n_2| = sqrt(2^2 + (- 1)^2 + (- 1) ²) = sqrt(6)

Substituindo-os

cos theta = (3)/(sqrt(2) . sqrt(6))

cos theta = (3)/(2 sqrt(3))

cos theta = (3)/(2 sqrt(3)) . (sqrt(3))/(sqrt(3))

cos theta = (3 sqrt(3))/(6)

cos theta = (sqrt(3))/(2)

O ângulo será:

theta = cos theta^(- 1) (sqrt(3))/(2)

theta = 30 ° = (pi)/(6)

Resposta

theta = 30 ° = (pi)/(6)

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