Enunciado

Determine o ponto do plano π : x - 3 y + 2 z = 0 tal que o módulo da diferença entre suas distâncias a P e Q seja o maior possível.

  1. P = 3 , 0 , 2 , Q = 1 , - 1 , 3
  2. P = 3 , 0 , 2 , Q = - 1 , 0 , - 1
  3. P = 3 , 0 , 2 , Q = 1,1 , 1

Passo 1

Vejam só o que a questão está querendo que determinemos: seja um ponto X = x , y , z ∈ π , então, queremos descobrir o X que maximize:

d P , X - d Q , X

Eita! Iremos ter que descobrir esta função e depois aplicar os métodos de cálculo para minimiza-la? Não!

É mais simples que parece. Primeiro, precisamos identificar se os pontos P e Q pertencem ao mesmo sub espaço ou não. E como sabemos isso? Basta substituir as coordenadas do ponto na equação do plano e verificar se o valor obtido tem sinais iguais ou diferentes.

Substituindo as coordenadas de P , temos:

3 - 0 + 4 = 7 > 0

Substituindo as coordenadas de Q , temos:

1 + 3 + 6 = 10 > 0

Como ambos são positivos, os pontos pertencem ao mesmo sub espaço.

Passo 2

Agora que temos pontos pertencentes ao mesmo sub espaços distintos, poderemos aplicar a propriedade triangular. Vamos formar um triângulo P Q X . Pela propriedade triangular (um lado é menor ou igual a soma dos outros dois), temos:

d Q , X + d P , Q ≥ d P , X

Ou, se reorganizarmos, temos:

d P , Q ≥ d P , X - d Q , X

Colocando em módulo, sempre teremos a seguinte relação

d P , Q = d P , Q ≥ d P , X - d Q , X

Portanto, se queremos maximizar d P , X - d Q , X , devemos ter uma igualdade na relação acima, portanto, teríamos:

d P , Q = d P , X - d Q , X

Então, sabemos qual será o maior valor possível. Só que não é isto que a questão pede, ela nos questiona qual o ponto X que satisfaz isto.

E quem será este X ? Para que tenhamos o sinal de igualdade na propriedade triangular, devemos ter três pontos colineares. Então.... se X pertence ao plano e é colinear com P e Q ...... significa que o ponto X é a interseção da reta que passa por P e Q com o plano π !

Passo 3

Após toda a discussão do passo 2, vamos começar determinando a reta que passa por P e Q . Portanto,

r : X = P + λ Q P →

r : X = P + λ P - Q

r : X = 3,0 , 2 + λ 3,0 , 2 - 1 , - 1,3

r : X = 3,0 , 2 + λ 2 , 1 , - 1

r : X = 3 + 2 λ , λ , 2 - λ

E assim temos a nossa reta!

Passo 4

Agora, vamos descobrir quem é o ponto X . Fazendo a interseção de r com o plano π , temos:

x - 3 y + 2 z = 0

3 + 2 λ - 3 ⋅ λ + 2 ⋅ 2 - λ = 0

3 + 2 λ - 3 λ + 4 - 2 λ = 0

- 3 λ = - 7

λ = 7 3

Portanto, temos o ponto X = 3 + 14 3 , 7 3 , 2 - 7 3 = 23 3 , 7 3 , - 1 3 . Este é o ponto buscado!

Resposta

X = 23 3 , 7 3 , - 1 3

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