Determine o ponto do plano π : x - 3 y + 2 z = 0 tal que o módulo da diferença entre suas distâncias a P e Q seja o maior possível.

  1. P = 3,0 , 2 , Q = 1 , - 1,3
  2. P = 3,0 , 2 , Q = - 1,0 , - 1
  3. P = 3,0 , 2 , Q = 1,1 , 1

Passo 1

Vejam só o que a questão está querendo que determinemos: seja um ponto X = x , y , z ∈ π , então, queremos descobrir o X que maximize:

d P , X - d Q , X

Eita! Iremos ter que descobrir esta função e depois aplicar os métodos de cálculo para minimiza-la? Não!

É mais simples que parece. Primeiro, precisamos identificar se os pontos P e Q pertencem ao mesmo sub espaço ou não. E como sabemos isso? Basta substituir as coordenadas do ponto na equação do plano e verificar se o valor obtido tem sinais iguais ou diferentes.

Substituindo as coordenadas de P , temos:

3 - 0 + 4 = 7 > 0

Substituindo as coordenadas de Q , temos:

- 1 + 0 - 2 = - 3 > 0

Como ambos tem sinal trocado, eles pertencem a sub espaço diferente.

Passo 2

Agora que já sabemos que pertencem a sub espaços diferentes, vamos encontrar o ponto simétrico a Q para podermos aplicar a propriedade triangular (isto não afetará em nada a resposta.

Portanto, a reta n perpendicular ao plano π e que passa por Q será:

n : X = Q + λ n →

n : X = - 1,0 , - 1 + λ 1 , - 3 , 2

A projeção do ponto Q no plano será a interseção de n com π . Portanto,

x - 3 y + 2 z = 0

- 1 + λ - 3 ⋅ - 3 λ + 2 ⋅ - 1 + 2 λ = 0

- 1 + λ + 9 λ - 2 + 4 λ = 0

14 λ = 3

λ = 3 14

Então, temos Q ' = - 1 + 3 14 , - 9 14 , - 1 + 6 14 = - 11 14 , - 9 14 , - 8 14 . E o ponto simétrico de Q em relação a π é:

Q ' ' = Q ' + Q Q ' →

Q ' ' = Q ' + Q ' - Q

Q ' ' = - 11 14 , - 9 14 , - 8 14 + - 11 14 , - 9 14 , - 8 14 - - 1,0 , - 1

Q ' ' = - 8 14 , - 18 14 , - 2 14

Passo 3

Agora que temos pontos pertencentes ao mesmo sub espaços distintos, poderemos aplicar a propriedade triangular. Vamos formar um triângulo P Q ' ' X . Pela propriedade triangular (um lado é menor ou igual a soma dos outros dois), temos:

d Q ' ' , X + d P , Q ' ' ≥ d P , X

Ou, se reorganizarmos, temos:

d P , Q ' ' ≥ d P , X - d Q ' ' , X

Colocando em módulo, sempre teremos a seguinte relação

d P , Q ' ' = d P , Q ' ' ≥ d P , X - d Q ' ' , X

Portanto, se queremos maximizar d P , X - d Q ' ' , X , devemos ter uma igualdade na relação acima, portanto, teríamos:

d P , Q ' ' = d P , X - d Q ' ' , X

Então, sabemos qual será o maior valor possível. Só que não é isto que a questão pede, ela nos questiona qual o ponto X que satisfaz isto.

E quem será este X ? Para que tenhamos o sinal de igualdade na propriedade triangular, devemos ter três pontos colineares. Então.... se X pertence ao plano e é colinear com P e Q ' ' ...... significa que o ponto X é a interseção da reta que passa por P e Q ' ' com o plano π !

Passo 4

Após toda a discussão do passo 4, vamos começar determinando a reta que passa por P e Q ' ' . Portanto,

r : X = P + λ Q ' ' P →

r : X = P + λ P - Q ' '

r : X = 3,0 , 2 + λ 3,0 , 2 - - 8 14 , - 18 14 , - 2 14

r : X = 3,0 , 2 + λ 25 7 , 9 7 , 15 7

r : X = 3 + 25 λ 7 , 9 λ 7 , 2 + 15 λ 7

E assim temos a nossa reta!

Passo 5

Agora, vamos descobrir quem é o ponto X . Fazendo a interseção de r com o plano π , temos:

x - 3 y + 2 z = 0

3 + 25 λ 7 - 3 ⋅ 9 λ 7 + 2 ⋅ 2 + 15 λ 7 = 0

3 + 25 λ 7 - 27 λ 7 + 4 + 30 λ 7 = 0

28 λ 7 = - 7

4 λ = - 7

λ = - 7 4

Portanto, temos o ponto X = 3 - 25 4 , - 9 4 , 2 - 15 4 = - 1 3 4 , - 9 4 , - 7 4 . Este é o ponto buscado!

Resposta

X = - 13 4 , - 9 4 , - 7 4

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