Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 19.Exercício - Ex. 39b
Determine o ponto do plano tal que o módulo da diferença entre suas distâncias a P e Q seja o maior possível.
- ,
- ,
- ,
Passo 1
Vejam só o que a questão está querendo que determinemos: seja um ponto , então, queremos descobrir o que maximize:
Eita! Iremos ter que descobrir esta função e depois aplicar os métodos de cálculo para minimiza-la? Não!
É mais simples que parece. Primeiro, precisamos identificar se os pontos e pertencem ao mesmo sub espaço ou não. E como sabemos isso? Basta substituir as coordenadas do ponto na equação do plano e verificar se o valor obtido tem sinais iguais ou diferentes.
Substituindo as coordenadas de , temos:
Substituindo as coordenadas de , temos:
Como ambos tem sinal trocado, eles pertencem a sub espaço diferente.
Passo 2
Agora que já sabemos que pertencem a sub espaços diferentes, vamos encontrar o ponto simétrico a para podermos aplicar a propriedade triangular (isto não afetará em nada a resposta.
Portanto, a reta perpendicular ao plano e que passa por será:
A projeção do ponto no plano será a interseção de com . Portanto,
Então, temos . E o ponto simétrico de em relação a é:
Passo 3
Agora que temos pontos pertencentes ao mesmo sub espaços distintos, poderemos aplicar a propriedade triangular. Vamos formar um triângulo . Pela propriedade triangular (um lado é menor ou igual a soma dos outros dois), temos:
Ou, se reorganizarmos, temos:
Colocando em módulo, sempre teremos a seguinte relação
Portanto, se queremos maximizar , devemos ter uma igualdade na relação acima, portanto, teríamos:
Então, sabemos qual será o maior valor possível. Só que não é isto que a questão pede, ela nos questiona qual o ponto que satisfaz isto.
E quem será este ? Para que tenhamos o sinal de igualdade na propriedade triangular, devemos ter três pontos colineares. Então.... se pertence ao plano e é colinear com e ...... significa que o ponto é a interseção da reta que passa por e com o plano !
Passo 4
Após toda a discussão do passo 4, vamos começar determinando a reta que passa por e . Portanto,
E assim temos a nossa reta!
Passo 5
Agora, vamos descobrir quem é o ponto . Fazendo a interseção de com o plano , temos:
Portanto, temos o ponto . Este é o ponto buscado!