Enunciado

Determine o ponto do plano π : 2 x - y + z - 2 = 0 tal que a soma de suas distâncias a P e Q seja a menor possível.

  1. P = 2,1 , 0 , Q = 1 , - 1 , - 1
  2. P = 2,1 , 0 , Q = 0,1 , 1
  3. P = 2,1 , 0 , Q = 1 , - 1,2

Passo 1

Vejam só o que a questão está querendo que determinemos: seja um ponto X = x , y , z ∈ π , então, queremos descobrir o X que minimize:

d P , X + d Q , X

Eita! Iremos ter que descobrir esta função e depois aplicar os métodos de cálculo para minimiza-la? Não!

É mais simples que parece. Primeiro, precisamos identificar se os pontos P e Q pertencem ao mesmo sub espaço ou não. E como sabemos isso? Basta substituir as coordenadas do ponto na equação do plano e verificar se o valor obtido tem sinais iguais ou diferentes.

Substituindo as coordenadas de P , temos:

4 - 1 + 0 - 2 = 1 > 0

Substituindo as coordenadas de Q , temos:

0 - 1 + 1 - 2 = - 2 < 0

Como ambos tem sinal trocado, eles pertencem a sub espaço diferente.

Passo 2

Agora que temos pontos pertencentes a sub espaços distintos, poderemos aplicar a propriedade triangular. Vamos formar um triângulo P Q X . Pela propriedade triangular (um lado é menor ou igual a soma dos outros dois), temos:

d P , X + d Q , X ≥ d P , Q

Se queremos minimizar d P , X + d Q , X , devemos ter uma igualdade na relação acima, portanto, teríamos:

d P , X + d Q , X = d P , Q

Então, sabemos qual será o menor valor possível. Só que não é isto que a questão pede, ela nos questiona qual o ponto X que satisfaz isto.

E quem será este X ? Para que tenhamos o sinal de igualdade na propriedade triangular, devemos ter três pontos colineares. Então.... se X pertence ao plano e é colinear com P e Q ...... significa que o ponto X é a interseção da reta que passa por P e Q com o plano π !

Passo 3

Após toda a discussão do passo 2, vamos começar determinando a reta que passa por P e Q . Portanto,

r : X = P + λ Q P →

r : X = P + λ P - Q

r : X = 2,1 , 0 + λ 2,1 , 0 - 0,1 , 1

r : X = 2,1 , 0 + λ 2,0 , - 1

r : X = 2 + 2 λ , 1 , - λ

E assim temos a nossa reta!

Passo 4

Agora, vamos descobrir quem é o ponto X . Fazendo a interseção de r com o plano π , temos:

2 x - y + z - 2 = 0

2 ⋅ 2 + 2 λ - 1 + - λ - 2 = 0

3 λ = - 1

λ = - 1 3

Portanto, temos o ponto X = 2 - 2 3 , 1 , 1 3 = 4 3 , 1 , 1 3 . Este é o ponto buscado!

Resposta

X = 4 3 , 1 , 1 3

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