Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 19.Exercício - Ex. 38b
Determine o ponto do plano tal que a soma de suas distâncias a P e Q seja a menor possível.
- ,
- ,
- ,
Passo 1
Vejam só o que a questão está querendo que determinemos: seja um ponto , então, queremos descobrir o que minimize:
Eita! Iremos ter que descobrir esta função e depois aplicar os métodos de cálculo para minimiza-la? Não!
É mais simples que parece. Primeiro, precisamos identificar se os pontos e pertencem ao mesmo sub espaço ou não. E como sabemos isso? Basta substituir as coordenadas do ponto na equação do plano e verificar se o valor obtido tem sinais iguais ou diferentes.
Substituindo as coordenadas de , temos:
Substituindo as coordenadas de , temos:
Como ambos tem sinal trocado, eles pertencem a sub espaço diferente.
Passo 2
Agora que temos pontos pertencentes a sub espaços distintos, poderemos aplicar a propriedade triangular. Vamos formar um triângulo . Pela propriedade triangular (um lado é menor ou igual a soma dos outros dois), temos:
Se queremos minimizar , devemos ter uma igualdade na relação acima, portanto, teríamos:
Então, sabemos qual será o menor valor possível. Só que não é isto que a questão pede, ela nos questiona qual o ponto que satisfaz isto.
E quem será este ? Para que tenhamos o sinal de igualdade na propriedade triangular, devemos ter três pontos colineares. Então.... se pertence ao plano e é colinear com e ...... significa que o ponto é a interseção da reta que passa por e com o plano !
Passo 3
Após toda a discussão do passo 2, vamos começar determinando a reta que passa por e . Portanto,
E assim temos a nossa reta!
Passo 4
Agora, vamos descobrir quem é o ponto . Fazendo a interseção de com o plano , temos:
Portanto, temos o ponto . Este é o ponto buscado!