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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 3.Problemas Propostos - Ex. 15

Determinar os ângulos do triângulo de vértices A 2 ,   1 ,   3 e B ( 1 ,   0 ,   - 1 ) e C - 1 ,   2 ,   1 .

Passo 1

Para acharmos os ângulos  , B ^ e C ^ vamos usar da equação:

cos ⁡ Â = A B → ∙ A C → A B → A C →     →       Â = a r c o s A B → ∙ A C → A B → A C →  

cos ⁡ B ^ = B A → ∙ B C → B A → B C →     →       B ^ = a r c o s B A → ∙ B C → B A → B C →

cos ⁡ C ^ = C A → ∙ C B → C A → C B →     →       C ^ = a r c o s C A → ∙ C B → C A → C B →

Passo 2

Vamos primeiro achar os vetores de cada equação

A B → = 1 - 2 , 0 - 1 , - 1 - 3 = - 1 , - 1 , - 4 A C → = - 1 - 2 , 2 - 1 , 1 - 3 = - 3 , 1 , - 2

B A → = 2 - 1 , 1 - 0 , 3 + 1 = 1 , 1 , 4 B C → = - 1 - 1 , 2 - 0 , 1 + 1 = - 2 , 2 2

C A → = 2 + 1 , 1 - 2 , 3 - 1 = 3 , - 1 , 2 C B → = 1 + 2 , 0 - 2 , - 1 - 1 = 2 , - 2 , - 2

Passo 3

Agora, vamos calcular os módulos desses vetores

A B → = - 1 2 + 1 2 + - 4 2 = 18 A C → = 3 2 + 1 2 + 2 2 = 14

B A → = 1 2 + 1 2 + 4 2 = 18 | B C → | = - 2 2 + 2 2 + 2 2 = 2 3

C A → = 3 2 + - 1 2 + 2 2 = 14 C B → = 2 2 + - 2 2 + - 2 2 = 2 3

Passo 4

Vamos agora colocar nas equações e achar os ângulos

 = a r c o s A B → ∙ A C → A B → A C →  

 = a r c o s - 1 ,   - 1 ,   - 4 ∙ - 3 ,   1 ,   - 2 18 ∙ 14

 = a r c o s 3 + - 1 + 8 2 ∙ 3 2 ∙ 2 ∙ 7

 = a r c o s 10 6 7

B ^ = a r c o s B A → ∙ B C → B A → B C →

B ^ = a r c o s 1 ,   1 ,   4 ∙ - 2 ,   2 ,   2 18 ∙ 2 3

B ^ = a r c o s - 2 + 2 + 8 2 ∙ 3 2 ∙ 2 ∙ 3

B ^ = a r c o s 8 6 6

C ^ = a r c o s C A → ∙ C B → C A → C B →

C ^ = a r c o s 3 ,   - 1 ,   2 ∙ 2 ,   - 2 ,   - 2 1 4 ∙ 2 3

C ^ = a r c o s 6 + 2 + - 4 2 42

C ^ = a r c o s 4 2 42

Resposta

 = a r c o s 10 6 7 , B ^ = a r c o s 8 6 6 , C ^ = a r c o s 4 2 42

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