Qual o valor de α para que os vetores a → = α i → + 5 j → - 4 k → e b → = α + 1 j → + 2 j → + 4 k → sejam ortogonais?

Passo 1

Nessa questão, temos que verificar a ortogonalidade entre a → e b → . Para isso, o produto escalar entre eles deve ser zero

a → ∙ b → = 0

Vamos escrever as coordenadas dos vetore a → e b → .

a → = α ,   5 ,   - 4 b → = α + 1 ,   2 ,   4

Passo 2

Vamos abrir o produto escalar desses vetores e achar uma equação para α .

a → ∙ b → = α ,   5 ,   - 4 ∙ α + 1 ,   2 ,   4

a → ∙ b → = α α + 1 + 5 2 - 4 4

a → ∙ b → = α 2 + α + 10 - 16

a → ∙ b → = α 2 + α - 6

Passo 3

Achada a equação para α , vamos igualar a zero para que a condição a → ∙ b → = 0 seja respeitada:

α 2 + α - 6 = 0

Passo 4

Por fim, vamos resolver α 2 + α - 6 = 0 usando a equação de Báskara:

α 2 + α - 6 = 0

- 1 ± 1 2 - 4 ( 1 ) ( - 6 ) 2 ( 1 )

- 1 ± 1 + 24 2

- 1 ± 25 2

- 1 ± 5 2

α 1 = - 1 + 5 2         ∴ α 1 = 2

α 2 = - 1 - 5 2         ∴ α 2 = - 3

Logo, os valores de α para que os vetores sejam ortogonais são α 1 = 2 e α 2 = - 3

Resposta

α 1 = 2 e α 2 = - 3

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