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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 8.Hipérbole - Ex. 14

Determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.

focos F ± 5,0 , vértices A ± 3,0

Passo 1

Vamos lá, temos que a hipérbole possuem os seguintes elementos:

  • Dois focos, F 1 e F 2 , que possui uma distância focal de 2 c entre eles
  • Um centro C h , k que é o ponto médio do segmento dos focos F 1 F 2
  • Dois vértices, A 1 e A 2
  • O eixo real que é o segmento A 1 A 2 com comprimento 2 a
  • O eixo imaginário que é o segmento B 1 B 2 com comprimento 2 b

Aqui vemos que o vértice está no eixo O x , assim temos que a equação da hipérbole é com eixo real sobre O x , assim vai ser da forma:

x - h 2 a 2 - y - k 2 b 2 = 1

Vamos então encontrar os valores a , b , h e k .

Passo 2

Pelas informações do enunciado temos que o centro é 0,0 e como os vértices são A ± 3,0 temos então a = 3 e como os focos são F ± 5,0 o valor de c é c = 5 , para achar a equação da hipérbole precisamos encontrar b , e podemos usar a seguinte expressão:

c 2 = a 2 + b 2

Vamos então substituir os valores:

c 2 = a 2 + b 2 → 5 2 = 3 2 + b 2 → 25 = 9 + b 2 → b 2 = 16 → b = 4

Pronto, agora é só substituir na expressão e temos a equação da hipérbole:

x - h 2 a 2 - y - k 2 b 2 = 1 → x - 0 2 3 2 - y - 0 2 4 2 = 1 → x 2 9 - y 2 16 = 1 →

→ 16 x 2 - 9 y 2 144 = 144 144 → 16 x 2 - 9 y 2 - 144 = 0

Passo 3

Agora vamos esboçar o gráfico usando a expressão da hipérbole que encontramos, 16 x 2 - 9 y 2 - 144 = 0 :

Resposta

16 x 2 - 9 y 2 - 144 = 0

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