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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 8.Hipérbole - Ex. 22

Determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.

Centro C 0,0 , eixo real sobre O y , b = 8 , excentricidade 5 3

Passo 1

Vamos lá, temos que a hipérbole possuem os seguintes elementos:

  • Dois focos, F 1 e F 2 , que possui uma distância focal de 2 c entre eles
  • Um centro C h , k que é o ponto médio do segmento dos focos F 1 F 2
  • Dois vértices, A 1 e A 2
  • O eixo real que é o segmento A 1 A 2 com comprimento 2 a
  • O eixo imaginário que é o segmento B 1 B 2 com comprimento 2 b

Aqui vemos que o real está sobre O y , assim a equação vai ser da forma:

y - k 2 a 2 - x - h 2 b 2 = 1

Vamos então encontrar os valores a , b , k e h .

Passo 2

Pelas informações do enunciado temos que o centro é C 0,0 , b = 8 , e a excentricidade é calculada por:

e = c a

Vamos então encontrar o valor de a isolando o valor de c na expressão:

5 3 = c a → 5 a = 3 c → c = 5 a 3

Para achar a equação da hipérbole só nos falta encontrar a , e podemos usar a seguinte expressão:

c 2 = a 2 + b 2

Vamos então substituir os valores:

c 2 = a 2 + b 2 → 5 a 3 2 = a 2 + 8 2 → 25 a 2 9 = a 2 + 64 → 25 a 2 = 9 a 2 + 576 →

→ 16 a 2 = 576 → a 2 = 36 → a = 6

Pronto, agora é só substituir na expressão e temos a equação da hipérbole:

y - k 2 a 2 - x - h 2 b 2 = 1 → y - 0 2 6 2 - x - 0 2 8 2 = 1 → y 2 36 - x 2 64 = 1 →

→ 16 y 2 - 9 x 2 576 = 576 576 → 16 y 2 - 9 x 2 - 576 = 0

Passo 3

Vamos também encontrar os focos e os vértices para montar o gráfico, como a distância do centro aos focos é o valor c , vamos encontrar ele usando a expressão:

c = 5 a 3 = 5 ⋅ 6 3 = 10

Temos então que as coordenadas y deles são:

0 + 10 = 10

0 - 10 = - 10

E a x é constante e igual a 0 , assim os focos são F 1 0 , 10 e F 2 0 , - 10 .

Para encontrar os vértices temos que como a distância do centro aos vértices é o valor a = 6 , temos então que as coordenadas y deles são:

0 + 6 = 6

0 - 6 = - 6

E a x é constante e igual a 0 , assim os vértices são A 1 0 , 6 e A 2 0 , - 6 .

Passo 4

Agora vamos esboçar o gráfico usando a expressão da hipérbole que encontramos, 16 y 2 - 9 x 2 - 576 = 0 :

Resposta

16 y 2 - 9 x 2 - 576 = 0

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