Enunciado

Determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.

Focos F ± 5,0 , eixo imaginário medindo 4

Passo 1

Vamos lá, temos que a hipérbole possuem os seguintes elementos:

  • Dois focos, F 1 e F 2 , que possui uma distância focal de 2 c entre eles
  • Um centro C que é o ponto médio do segmento dos focos F 1 F 2
  • Dois vértices, A 1 e A 2
  • O eixo real que é o segmento A 1 A 2 com comprimento 2 a
  • O eixo imaginário que é o segmento B 1 B 2 com comprimento 2 b

Aqui vemos que o vértice está no eixo O x , assim temos que a equação da hipérbole é com eixo real sobre O x , assim vai ser da forma:

x - h 2 a 2 - y - k 2 b 2 = 1

Vamos então encontrar os valores a , b , k e h .

Passo 2

Pelas informações do enunciado temos que o centro é 0,0 e como o eixo imaginário tem medida 4 temos que:

2 b = 4 → b = 2

E como os focos são F ± 5,0 o valor de c é c = 5 , e agora para achar a equação da hipérbole só nos falta encontrar b , e podemos usar a seguinte expressão:

c 2 = a 2 + b 2

Vamos então substituir os valores:

c 2 = a 2 + b 2 → 5 2 = a 2 + 2 2 → 25 = a 2 + 4 → a 2 = 21 → a = 21

Pronto, agora é só substituir na expressão e temos a equação da hipérbole:

x - h 2 a 2 - y - k 2 b 2 = 1 → x - 0 2 21 2 - ( y - 0 )   2 2 2 = 1 → x 2 21 - y 2 4 = 1 →

→ 4 x 2 - 21 y 2 84 = 84 84 → 4 x 2 - 21 y 2 - 84 = 0

Passo 3

Vamos também encontrar os vértices para montar o gráfico, como a distância do centro aos vértices é o valor a , vamos encontrar ele usando a expressão:

c 2 = a 2 + b 2 → c 2 = 3 2 + 6 2 → c 2 = 9 + 36 → c 2 = 45 → c = 45 = 3 5

Temos então que as coordenadas x deles são:

0 + 21 = 21

0 - 21 = - 21

E a y é constante e igual a 0 , assim os vértices são A 1 21 , 0 e A 2 - 21 , 0 .

Passo 4

Agora vamos esboçar o gráfico usando a expressão da hipérbole que encontramos, 4 x 2 - 21 y 2 - 84 = 0 :

Resposta

4 x 2 - 21 y 2 - 84 = 0

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