Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 12 , esboçar o gráfico e determinar os vértices, os focos, a excentricidade e as equações das assíntotas das hipérboles dadas.

4. 9 x 2 - 16 y 2 = 144

Passo 1

Então galera, antes de começarmos com a resolução devemos extrair duas informações sobre a equação que nos foi dada, que são os fatores a e b da equação! Mas que fatores são esses? Então, de acordo com o que estudamos a equação de uma hipérbole pode ter dois formatos:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

Ou:

y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1

A equação que nos foi dada é essa aqui:

9 x 2 - 16 y 2 = 144

Simplificando para escrevermos no formato padrão:

9 x 2 144 - 16 y 2 144 = 1

x 2 16 - y 2 9 = 1

Que condiz com o primeiro formato, certo? Então se compararmos os denominadores, teremos:

a 2 = 16 ∴ a = 4

b 2 = 9 ∴ b = 3

Ok, encontramos a e b ! Agora podemos iniciar a resolução de fato, então bora lá!

Passo 2

Para encontrarmos os vértices da hipérbole é de boa! Para a equação nesse formato eles são dados pelos pontos:

- a , �� 0   e   a ,   0

Como a = 4 , então nossos vértices serão:

V é r t i c e s : - 4 ,   0   e   4 ,   0

Ademais, para encontrarmos os focos da hipérbole também é bem tranquilão, galera! Basta que encontremos o c da nossa equação utilizando o Teorema de Pitágoras, pois os focos, para a equação nesse formato, são dados pelos pontos:

- c ,   0   e   c ,   0

Aplicando o Teorema:

c 2 = a 2 + b 2

c 2 = 16 + 9

∴ c = 5

Então nossos focos serão:

F o c o s : - 5 ,   0   e   5 ,   0

Show! Metade do caminho foi concluído, agora vamos para o final!

Passo 3

A excentricidade de uma hipérbole é dada pela seguinte razão:

e = c a

Substituindo os valores, teremos:

e = 5 4

Por fim, para determinarmos as equações das assíntotas, temos que utilizar as relações:

y 1 = b a x   e   y 2 = - b a x

Substituindo os valores, teremos:

y 1 = 3 4 x   e   y 2 = - 3 4 x

Esboçando essa hipérbole, teremos o seguinte, galera:

No qual as curvas em vermelho é a hipérbole e as linhas tracejadas em preto são as assíntotas. E está aí nossa resolução!

Resposta

V é r t i c e s : - 4 ,   0   e   4 ,   0

F o c o s : - 5 ,   0   e   5 ,   0

E x c e n t r i c i d a d e :   e = 5 4

A s s í n t o t a s :   y 1 = 3 4 x   e   y 2 = - 3 4 x

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Um babuíno de altura 4 circula por uma montanha, cujo perfil é a parte da hipérbole de equação x 2 - y 2 = 1 contida no primeiro quadrante. Um caçador, de espingarda, arma tocaia no ponto ( 0 , - 3 )
A reta t : x - y + 2 = 0 tangencia uma hipérbole de focos F 1 = ( 1,1 ) e F 2 = ( 0,3 ) . Determine o ponto de tangência e os parâmetros geométricos da hipérbole.
Prove que qualquer reta tangente a uma hipérbole separa os focos.
Caso t seja tangente a alguma hipérbole H de focos F 1 e F 2 , obtenha uma equação de H . ( a ) F 1 = - 2 2 , 0F 2 = 2 2 , 0 t : 3 x - 5 y - 4 = 0 ( b ) F 1 = 0 , - 4F 2 = 0 , 4 t : 2 x + y + 2 = 0 (
Sejam T = ( h , k ) um ponto da hipérbole H : x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 e A e B os pontos em que a reta tangente a hipérbole em T intercepta as assíntotas. ( a ) Escreva as coordenadas de A e B em termos