Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 11b
Verificar se a matriz é diagonalizável. Caso seja, determinar uma matriz que diagonaliza e calcular .
Passo 1
O problema fornece uma matriz e pede para verificar se ela é diagonalizável ou não. Se ela for, temos que encontrar a matriz de modo que seja diagonal.
Basicamente, o que temos que fazer é encontrar os autovalores de e seus autovetores associados. Se os autovetores formarem uma base, então a matriz será diagonalizável! Neste caso, as colunas da matriz são as componentes dos autovetores.
já primeira coisa que você tem que tentar fazer é achar os autovalores resolvendo a equação característica:
Assim,
Portanto,
Fazendo a distribuitiva:
Resolvendo essa equação do segundo grau:
Desta forma, os autovalores são
Como a dimensão da matriz é dois e ela tem dois autovalores distintos, essa matriz é diagonalizável!!!
Passo 2
Bom, agora que já sabemos que a matriz pode ser diagonalizada, vamos achar os autovetores para construir a matriz . Para isso, temos que resolver a equação:
Com , temos
Note que as equações desse sistema são equivalentes e obtemos
Portanto,
Por simplicidade, vamos escolher . Assim, o primeiro autovetor é
Essa será a primeira coluna da matriz !
Fazendo a mesma coisa com :
Novamente, as duas equações são equivalentes e tiramos
Assim,
Vamos escolher , de modo que
Passo 3
Chegamos que os autovalores são e , com os autovetores e . As colunas da matriz serão os autovetores:
Desta forma, fazendo o produto , obtemos uma matriz diagonal cujas entradas são os autovalores:
É importante ressaltar que essa resposta não é única: poderíamos inverter a ordem ou escolher valores de diferentes para os autovetores.