Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 3.Problemas Propostos - Ex. 32

Determinar o vetor v → , ortogonal ao eixo O z , que satisfaz as condições v → ∙ v → 1 = 10 e

v → ∙ v → 2 = - 5 , sendo v → 1 = 2 ,   3 ,   - 1 e v → 2 = 1 ,   - 1 ,   2 .

Passo 1

Nessa questão, temos que verificar cada uma das características indicadas no enunciada. A primeira é a ortogonalidade com o eixo O z . Assim:

v → ∙ 0 ,   0 ,   1 = 0

x ,   y ,   z ∙ 0 ,   0 ,   1 = 0         ∴           0 x + 0 y + z = 0       →       z = 0

Dessa forma, descobrimos a primeira coordenada tal que v → = ( x ,   y ,   0 ) .

Passo 2

Vamos agora encontrar as equações para achar as incógnitas x e y . Para isso, vamos testar os produtos escalares v → ∙ v → 1 = 10 e v → ∙ v → 2 = - 5 .

  • Testando v → ∙ v → 1 = 10 :

    • v → ∙ v → 1 = x ,   y ,   0 ∙ 2 ,   3 ,   - 1 = 10

    x ,   y ,   0 ∙ 2 ,   3 ,   - 1 = 10

    2 x + 3 y = 10

  • Testando v → ∙ v → 2 = - 5 :

v → ∙ v → 2 = x ,   y ,   0 ∙ 1 ,   - 1 ,   2 = - 5

x ,   y ,   0 ∙ 1 ,   - 1 ,   2 = - 5

x - y = - 5

Dessa forma, temos um sistema de equações com duas incónitas e duas equações:

2 x + 3 y = 10 x - y = - 5

Passo 3

Por fim, vamos resolver o sistema 2 x + 3 y = 10 x - y = - 5 e encontrar as últimas incógnitas.

2 x + 3 y = 10 x - y = - 5

2 x + 3 y = 10 x = y - 5

2 ( y - 5 ) + 3 y = 10

2 y - 10 + 3 y = 10

5 y = 20       ∴       y = 4

Substituindo y = 4 em x = y - 5 temos

x = y - 5

x = 4 - 5

x = - 1

Portanto v → = - 1 ,   4 ,   0 .

Resposta

v → = - 1 ,   4 ,   0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine os vetores XeY , tais que 6 X - 2 Y = U 3 X + Y = U + V
Determine os vetores XeY , tais que 6 X - 2 Y = U 3 X + Y = U + V
Demonstre que não existe x tal que os vetores V = x i → + 3 j → + 4 k→ eW = 3 i→ + j → + 2 k → são perpendiculares.
Sejam O = ( 0,0 , 0 ) . Qual o lugar geométrico dos pontos P = ( x , y , z ) tais que O P → 2 = 4 ? Qual figura é representada pela equação x 2 + y 2 = 4 ?
Determine o valor de x para o qual os vetores V = x i → + 3 j → + 4 k→ eW = 3 i→ + j → + 2 k → são perpendiculares.