Os lados de um triângulo retângulo A B C (reto em A ) medem 5, 12 e 13. Calcular

A B → ∙ A C → + B A → ∙ B C → + C A → ∙ C B →

Passo 1

Para acharmos o produto escalar entre os pares de vetores, vamos usar

A B → ∙ A C → = A B → A C → cos ⁡ θ 1

B A → ∙ B C → = B A → B C → cos ⁡ θ 2

C A → ∙ C B → = C A → C B → cos ⁡ θ 3

Passo 2

Como esse triângulo é reto em A , então θ 1 = 90 °

A B → ∙ A C → = A B → A C → cos ⁡ θ 1

A B → ∙ A C → = A B → A C → cos ⁡ 90 °

A B → ∙ A C → = 0

Passo 3

Se desenharmos o triângulo,

Vemos que a hipotenusa é o maior lado, 13. Então, os cossenos dos ângulos θ 2 e θ 3 são as razões dos lados 5 e 13 e 12 e 13.

cos ⁡ θ 2 = 5 / 13 cos ⁡ θ 3 = 12 / 13

B A → ∙ B C → = B A → B C → cos ⁡ θ 2

B A → ∙ B C → = 5 ∙ 13 ∙ 5 13  

B A → ∙ B C → = 25

C A → ∙ C B → = C A → C B → cos ⁡ θ 3

C A → ∙ C B → = 12 ∙ 13 ∙ 12 13

C A → ∙ C B → = 144

Passo 4

Agora, vamos colocar na relação A B → ∙ A C → + B A → ∙ B C → + C A → ∙ C B → e encontrar a resposta

A B → ∙ A C → + B A → ∙ B C → + C A → ∙ C B →

0 + 25 + 144

169

Resposta

A B → ∙ A C → + B A → ∙ B C → + C A → ∙ C B → = 169

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