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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas Propostos - Ex. 21

Determinar o vetor u → tal que u → = 2 , sendo o ângulo entre u → e v → = 1 ,   - 1 ,   0 igual a 45 ° e u → seja ortogonal a w → = 1 ,   1 ,   0 .

Passo 1

Então galera, aqui o enunciado nos cede várias informações e teremos que analisar com calma cada uma delas, tudo bem? O vetor u → que queremos encontrar possui componentes do tipo:

u → = x ,   y ,   z

E os outros dois vetores foram dados pela questão:

v → = 1 ,   - 1 ,   0

w → = 1 ,   1 ,   0

Show! A primeira informação que nos foi dada é que u → e v → fazem um ângulo de 45 ° , então utilizando as noções de produto escalar que aprendemos no capítulo em questão:

u → ∙ v → = u → ∙ v → cos ⁡ θ

O módulo de u → já nos foi dado, então temos que encontrar o módulo de v → . Pelo teorema de Pitágoras:

v → = 1 2 + - 1 2 + 0 2

v → = 2

Passo 2

Agora que já temos tudo, substituindo as informações no produto escalar:

u → ∙ v → = 2 . 2 . cos ⁡ 45 °

u → ∙ v → = 2 . 2 . 2 2 = 2

Sendo assim:

x ,   y ,   z ∙ 1 ,   - 1 ,   0 = 2

x - y = 2

∴ x = y + 2

Como temos duas incógnitas, então precisamos encontrar outra equação para montarmos um sisteminha, galera! O enunciado nos diz que u → é ortogonal a w → = 1 ,   1 ,   0 . Em outras palavras, temos que:

u → ∙ w → = 0

Substituindo os vetores:

x ,   y ,   z ∙ 1 ,   1 ,   0 = 0

x + y = 0

∴ x = - y

E essa é nossa segunda equação! Massa!

Passo 3

Substituindo x = - y na primeira equação que encontramos:

x = y + 2

x = - x + 2

2 x = 2

x = 1

Sendo assim, temos que:

x = - y

y = - 1

Então nosso vetor está da seguinte forma agora:

u → = 1 ,   - 1 ,   z

Falta encontrarmos a última componente! O enunciado nos diz que o módulo de u → vale 2 , então:

2 = 1 2 + - 1 2 + z 2

4 = 2 + z 2

∴ z = ± 2

Note que z possui dois valores, então nosso vetor u → pode ser de duas formas:

u → = ( 1 ,   - 1 ,   2 ) ou u → = 1 ,   - 1 ,   - 2

E está aí nossa resolução, pessoal! 😉

Resposta

u → = ( 1 ,   - 1 ,   2 ) ou u → = 1 ,   - 1 ,   - 2

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22. Seja o vetor v → = 2 ,- 1 ,1 . Obter:c) Um vetor de módulo 4 ortogonal a v → .
Seja E = e → 1 , e → 2 , e → 3 uma base . Sejam f 1 → = e → 1 - e → 2 + e → 3 , f 2 → = e → 2 + e → 3 e f 3 → = - 2 e → 3 (b)Resolva x , y , z E = 3 , - 2,4 F .
Provar que os pontos A - 1 ,2 ,3 , B - 3 ,6 ,0 e C - 4 ,7 ,2 são vértices de um triângulo retângulo.
Dados os pontos A m ,1 ,0 , B m - 1 ,2 m ,2 e C 1 ,3 ,- 1 , determinar m de modo que o triângulo A B C seja retângulo em A . Calcular a área do triângulo.