Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas Propostos - Ex. 19
Dados os pontos , e , determinar de modo que o triângulo seja retângulo em . Calcular a área do triângulo.
Passo 1
Então pessoal, a fim de facilitar nossa visualização sobre o problema, vamos esboçar um triângulo retângulo qualquer com vértices , e , como indicado na questão:
Note que, pela figura, os vetores e formam um ângulo de entre si, não é mesmo? Mas do que importa? No que isso implica na nossa resolução? TUDO! De acordo com o que estudamos no capítulo em questão do Winterle, temos que o produto escalar entre dois vetores é dado da seguinte forma:
No qual é o ângulo entre os dois vetores. Quando os vetores são ortogonais, isso significa que o ângulo entre eles é de e , então temos o seguinte:
Que é exatamente o nosso caso, galera! Em outras palavras, temos que:
Show!
Passo 2
Para escrevermos esses vetores em termos de pontos, que é o que a questão nos fornece, basta fazermos:
Caso não tenha ficado claro esse último passo, uma sugestão é dar uma lida rápididinha no capítulo do Winterle, beleza? Como a questão nos cede todos esses pontos, então basta substituirmos cada coisa no seu lugar e ir manipulando para ver no que chegamos, ok?
Substituindo, teremos:
Daooora!
Passo 3
Agora que simplificamos tudo, então finalmente temos que realizar o produto escalar, isto é, multiplicar componente por componente, saca só:
Que é o valor da incógnita que queríamos encontrar!
Passo 4
Agora que encontramos o valor de , temos que os nossos pontos são:
A fórmula para calcularmos a área de um triângulo retângulo é:
No nosso caso a base é o módulo do vetor e a altura é o módulo do vetor . Sendo assim, calculando-os:
Show!
Passo 5
Agora que encontramos os módulos dos vetores, vamos substituir na equação da área que discutimos no passo anterior, saca só:
Multiplicando as raízes de cima, teremos que a área será:
E essa é nossa resolução, galera! 😉