Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas Propostos - Ex. 18
Provar que os pontos , e são vértices de um triângulo retângulo.
Passo 1
Então pessoal, a fim de facilitar nossa visualização sobre o problema, vamos esboçar um triângulo retângulo qualquer:
Vale ressaltar que não podemos indicar quem são os vértices , e na figura porque eles podem estar em qualquer lugar, então vamos evitar essa confusão desnecessária, ok? Show! Como é um triângulo retângulo, então temos:
Que são os lados do triângulo em questão. Se o triângulo é retângulo, então o teorema de Pitágoras é válido, certo? Sendo assim, temos que calcular o módulo desses lados para ver se o teorema está sendo satisfeito ou não. Bora que bora!
Passo 2
Calculando o módulo dos três vetores que escrevemos no passo :
Agora para o segundo vetor:
Para o último vetor:
Show!
Passo 3
A hipotenusa do triângulo retângulo é considerado o maior lado do triângulo, certo? De acordo com nosso cálculos no passo , nossa hipotenusa teria que ser o vetor , pois ele possui o maior módulo! Sendo assim, os outros dois vetores são os catetos. Pelo teorema de Pitágoras novamente:
Que é exatamente o valor que encontramos no passo . Sendo assim, podemos concluir que os pontos , e são, de fato, vértices de um triângulo retângulo.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)