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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 2d

Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares:

  1. f : R 2 → R 2

    2. ( x , y ) → x + y , x - y

  2. g : R 2 → R

    3. ( x , y ) → x y

  3. h : M 2 → R

    4. a c       b d → det ⁡ a c       b d

  4. k : P 2 → P 3

    5. a x 2 + b x + c → a x 3 + b x 2 + c x

  5. M : R 3 → R 2

    6. ( x , y , z ) → x , y , z 1 0 1       2 - 1 1

  6. N : R → R

x → | x |

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Item d):

Para ser transformação linear, temos que atender dois requisitos:

i )   T v + u = T v + T u

i i )   T k v = k T ( v )

Vamos aplicar ao problema. A lei para este problema é:

  k : P 2 → P 3

a x 2 + b x + c → a x 3 + b x 2 + c x

Onde:

T a x 2 + b x + c = a x 3 + b x 2 + c x

Vamos considerar um u e um v de tal forma que respeitem a lei:

  u = a 1 x 2 + b 1 x + c 1 → a 1 x 3 + b 1 x 2 + c 1 x v = a 2 x 2 + b 2 x + c 2 → a 2 x 3 + b 2 x 2 + c 2 x

Ou seja:

T u = a 1 x 3 + b 1 x 2 + c 1 x

T v = a 2 x 3 + b 2 x 2 + c 2 x

Passo 2

Vamos aplicar a soma:

T a 1 x 2 + b 1 x + c 1 + a 2 x 2 + b 2 x + c 2 = T a 1 + a 2 x 2 + b 1 + b 2 x + c 1 + c 2

T u + v = T a 1 + a 2 x 2 + b 1 + b 2 x + c 1 + c 2

Aplicando a transformação linear, encontramos:

T u + v = a 1 + a 2 x 3 + b 1 + b 2 x 2 + c 1 + c 2 x

T u + v = a 1 x 3 + b 1 x 2 + c 1 x + a 2 x 3 + b 2 x 2 + c 2 x

Como discutido anteriormente, sabemos que:

T u = a 1 x 3 + b 1 x 2 + c 1 x

T v = a 2 x 3 + b 2 x 2 + c 2 x

Portanto:

T u + v = T u + T v

Passo 3

Analisando agora o produto:

T k u = k T u

T k a 1 x 2 + b 1 x + c 1 = T k a 1 x 2 + k b 1 x + k c 1

T k a 1 x 2 + k b 1 x + k c 1 = k a 1 x 3 + k b 1 x 2 + k c 1 x

T k u = k a 1 x 3 + k b 1 x 2 + k c 1 x

T k u = k a 1 x 3 + b 1 x 2 + c 1 x

Como T u = a 1 x 3 + b 1 x 2 + c 1 x , temos que:

T k u = k a 1 x 3 + b 1 x 2 + c 1 x = k T u

Logo, podemos ver que é transformação linear.

Resposta

d) É transformação linear.

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