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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 17

Sejam S e T aplicações lineares de V em W . Definimos S + T como S + T v = S v + T ( v ) para todo v ∈ V e definimos α S como α S v = α ⋅ S v para todo α ∈ R e v ∈ V .

  1. Mostre que S + T é uma transformação linear de V em W .
  2. Mostre que α S é uma transformação linear de V em W .
  3. Mostre que X = T | T : V → W é um espaço vetorial sobre R .
  4. Suponha que dim ⁡ V = 2 e dim ⁡ W = 3 . Tente procurar dim ⁡ X .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Item a:

Para ser transformação linear, deve obedecer dos requisitos:

i )   T u + v = T u + T ( v )

i i )   T k u = k T ( u )

Temos:

i )   T v 1 + v 2 = T v 1 + T ( v 2 )

S + T v 1 + v 2 = S v 1 + v 2 + T v 1 + v 2 = S v 1 + S v 2 + T v 1 + T v 2

S + T v 1 + v 2 = S v 1 + T v 1 + S v 2 + T v 2

i i )   T k u = k T ( u )

S + T k v 1 = S k v 1 + T k v 1 = k S v 1 + T v 1

Portanto S + T   é   t r a n s f o r m a ç ã o   l i n e a r .

Passo 2

Item b:

Para α S temos:

T u + v = T u + T ( v )

α S v 1 + v 2 = α S v 1 + α S ( v 2 )

α S v 1 + v 2 = α S v 1 + α S ( v 2 )

E:

T k u = k T ( u )

α S k v 1 = k α S ( v 1 )

Portanto α S é Transformação Linear.

Passo 3

Item c:

X = T | T : V → W

Sejam T ( v ) , T ( u ) ∈ X ; k ∈ R

i )   T v + T u = T v + u ∈ X

i i )   k T v = T k v ∈ X

Passo 4

Item d:

dim ⁡ V = 2

dim ⁡ W = 3

Portanto teremos:

T = 3 × 2

Logo:

dim ⁡ T = dim ⁡ X = 3 × 2 = 6

dim ⁡ T = 6

Resposta

a ) S + T   é   t r a n s f o r m a ç ã o   l i n e a r .

b )   α S   é   T r a n s f o r m a ç ã o   L i n e a r .

d )   dim ⁡ T = 6  

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