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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 4

  1. Qual é a transformação linear T : R 2 → R 3 tal que T 1,1 = ( 3,2 , 1 ) e T 0 , - 2 = 0,1 , 0 ?
  2. Ache T ( 1,0 ) e T ( 0,1 ) .
  3. Qual é a transformação linear S : R 3 → R 2 tal que S 3,2 , 1 = ( 1,1 ) , S 0,1 , 0 = ( 0 , - 2 ) e S 0,0 , 1 = ( 0,0 ) ?
  4. Ache a transformação linear P : R 2 → R 2 tal que P = S ∘ T

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Item a):

Sendo:

T : R 2 → R 3

T 1,1 = 3 , 2 , 1

T 0 , - 2 = 0 , 1 , 0

v = x , y = a 1,1 + b ( 0 , - 2 )

x , y = a , a + ( 0 , - 2 b )

x , y = ( a , a - 2 b )

Logo:

x = a

y = a - 2 b

b = x - y 2

Temos que:

v = x , y = x 1,1 + x - y 2 ( 0 , - 2 )

T v = x T 1,1 + x - y 2 T ( 0 , - 2 )

T v = x ( 3,2 , 1 ) + x - y 2 0,1 , 0

T v = 3 x , 2 x , x + 0 , x - y 2 , 0

T v = T x , y = 3 x , 2 x + x - y 2 , x

T x , y = 3 x , 5 x - y 2 , x

Passo 2

Para o item b vamos aplicar a transformação linear que encontramos nos dados fornecidos no enunciado para encontrar T ( 1,0 ) e T ( 0,1 ) . Temos que:

T x , y = 3 x , 5 x - y 2 , x

Portanto:

T 1,0 = 3 1 , 5 1 - 0 2 , 1

T 1,0 = 3 , 5 2 ,   1  

E:

T 0,1 = 3 0 , 5 0 - 1 2 , 0

T 0,1 = 0 , - 1 2 , 0

Passo 3

Item c):

Sendo:

S : R 3 → R 2

S 3,2 , 1 = ( 1,1 )

S 0,1 , 0 = ( 0 , - 2 )

S 0,0 , 1 = ( 0 , 0 )

v = x , y , z = a 3 , 2 , 1 + b 0,1 , 0 + c ( 0,01 )

x , y , z = 3 a , 2 a + b , a + c

3 a = x

2 a + b = y

a + c = z

Logo:

a = x 3

b = y - 2 a = y - 2 x 3

c = z - a = z - x 3

Logo:

v = x , y , z = x 3 3,2 , 1 + y - 2 x 3 0,1 , 0 + z - x 3 ( 0,01 )

Temos que:

S v = x 3 S 3,2 , 1 + y - 2 x 3 S 0,1 , 0 + z - x 3 S ( 0,01 )

S v = x 3 ( 1,1 ) + y - 2 x 3 0 , - 2 + z - x 3 ( 0,0 )

S v = x 3 , x 3 + 0 , - 2 y - 2 x 3 + 0,0

S v = x 3 , x 3 - 2 y - 2 x 3

S v = x 3 , x 3 + - 6 y + 4 x 3

S v = x 3 , - 6 y + 5 x 3

Passo 4

Item (d):

P : R 2 → R 2

P = S ∘ T

Bom galera, P = S ∘ T é apenas uma função composta, P v = S T v . Temos:

T v = 3 x , 5 x - y 2 , x

E:

S v = x 3 , - 6 y + 5 x 3

O " x " da transformação T é 3 x e o " y " é 5 x - y 2 , portanto:

P x , y = ( 3 x ) 3 , - 6 5 x - y 2 + 5 ( 3 x ) 3

P x , y = x , - 30 x + 6 y 2 + 15 x 3

P x , y = x , - 30 x + 6 y + 30 x 2 3

P x , y = x , 3 y 3

P x , y = ( x , y )

Resposta

a )   T x , y = 3 x , 5 x - y 2 , x

b ) T 1,0 = 3 , 5 2 ,   1

T 0,1 = 0 , - 1 2 , 0

c ) S v = x 3 , - 6 y + 5 x 3  

d ) P x , y = ( x , y )

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