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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 27

Seja L : R 3 → R 3 onde L é a reflexão através do plano 3 x + 2 y + z = 0 .

  1. Encontre L ( x , y , z ) .
  2. Encontre uma base ordenada γ de R 3 , tal que T γ γ = 1 0 0       0 1 0       0 0 - 1

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Considere o plano I I = v = x , y , z ∈ R 3 3 x + 2 y + z = 0 } . Portanto:

v = ( x , y , - 3 x - 2 y )

v = x 1,0 , - 3 + y 0,1 , - 2

Logo:

I I = 1,0 , - 3 , 0,1 , - 2

Com uma breve análise é pssível notar que o vetor ( 3,2 , 1 ) é paralelo à normal do plano I I .

O conjunto β = 1,0 , - 3 , 3,2 , 1 , 0,1 , - 2 forma uma base para o R 3 e é tal que:

T 1,0 , - 3 = 1,0 , - 3

T 0,1 , - 2 = ( 0,1 , - 2 )

Pois T v = v . Temos também que:

T 3,2 , 1 = - ( 3 , 2 , 1 )

Pois ( 3,2 , 1 ) é paralelo à normal do plano.

A representação matricial da transformação T em relação à base β é dada por:

T β β = 1 0 0       0 1 0       0 0 - 1

Vamos então determinar a representação matricial da transformação T definida acima, em relação à base canônica.

T c a n c a n   = I c a n β ⋅ T β β ⋅ I β c a n

T c a n c a n   = 1 0 - 3       3 2 1       0 1 - 2 ⋅ 1 0 0       0 1 0       0 0 - 1 ⋅ 5 14 - 3 7 3 14       - 3 7 5 7 1 7       - 3 14 - 1 7 1 14

T c a n c a n   = - 2 7 - 6 7 - 3 7       - 6 7 3 7 - 2 7       - 3 7 - 2 7 6 7

Portanto:

T x , y = - 2 7 - 6 7 - 3 7       - 6 7 3 7 - 2 7       - 3 7 - 2 7 6 7 x y z

Passo 2

Como T v = v , ∀ v ∈ I I e T w = - w , ∀ w   | | ( 3,2 , 1 ) podemos considerar γ = v 1 , v 2 , v 3 , onde v 1 ,   v 2 ∈ I I tal que v 1 , v 2 seja L . I . e v 3 | | ( 3,2 , 1 ) . Em particular poderíamos tomar:

γ = 1,0 , - 3 , 0,1 , - 2 , 3,2 , 1

Resposta

a ) T x , y = - 2 7 - 6 7 - 3 7       - 6 7 3 7 - 2 7       - 3 7 - 2 7 6 7 x y z

b ) γ = 1,0 , - 3 , 0,1 , - 2 , 3,2 , 1

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