Sejam e bases de e respectivamente e .

1. Ache .
2. Se ache .
3. Ache uma base de tal que .

Agora teremos que encontrar repetindo o mesmo raciocínio e lembrando que está em , logo sabemos que:

Então:

Agora podemos calcular o vetor que faz com que seja uma transformação linear, juntando com os vetores da base

Para resolver o item b) vamos ter que achar sendo que ou seja, conhecemos a transformação e queremos encontrar a matriz.

Vamos primeiro aplicar a transformação nos vetores da base , então:

E:

Encontrando assim dois vetores

Agora utilizando primeiro o vetor vamos aplica-lo na base :

Temos que descobrir os valores de , e tiramos as seguintes equações da expressão a cima:

Vamos fazer algumas análises. Pela expressão (3) podemos escrever:

Substituindo na equação (1):

Pela equação (2) sabemos que:

Então:

Dessa forma descobrimos :

E descobrimos pela equação (1):

E descobrimos pela equação (2):

Temos que repetir esse procedimento para o segundo vetor que encontramos no Passo 4:

E através das seguintes equações temos que encontrar e :

Resolvendo esse sisteminha de 3 equações e 3 incógnitas, encontramos que:

Dessa forma podemos montar a matriz :

Que pode ser simplificada para:

Para resolver o item c, teremos que encontrar a base tal que:

Conhecemos a base e, portanto, podemos escrever:

Então temos que descobrir . Assumindo que:

Temos que:

Portanto:

Então nosso vetor na base é:

Agora podemos encontrar processo similar ao que fizemos no Passo 2.

Dessa forma conseguimos a transformação da nossa base :

Podemos aplicar essa transformação na base , e teremos:

Repetindo o processo do Passo 5 para os vetores :

Vamos querer encontrar

E:

Portanto o que fizemos foi aplicar a transformação de base para a canônica do , e o processo foi eficaz, podemos considerar :