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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 1.1 - Ex. 25c

Dizemos que uma matriz A, nxn, é simétrica se A t = A e é anti-simétrica se A t = - A .

c) Mostre que se A e B são simétricas, então AB é simétrica se, e somente se, AB = BA.

Passo 1

Dadas matrizes A e B quadradas

A =   a 11 a 12 a 21 a 22 ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ,   B =   b 11 b 12 b 21 b 22 ⋯ ⋯ b 1 n b 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ b n 1 b n 2 ⋯ b n n

O produto matricial é tal que:

A B =   a 11 a 12 a 21 a 22 ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∙ b 11 b 12 b 21 b 22 ⋯ ⋯ b 1 n b 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ b n 1 b n 2 ⋯ b n n

A B =   a 11 b 11 + … + a 1 n b n 1 a 11 b 12 + … + a 1 n b n 2 a 21 b 11 + … + a 2 n b n 1 a 21 b 12 + … + a 2 n b n 2 ⋯ ⋯ a 11 b 1 n + … + a 1 n b n n a 21 b 1 n + … + a 2 n b n n   ⋮                                                                                 ⋯ ⋮ a n 1 b 11 + … + a n n b n 1 a n 1 b 12 + … + a n n b n 2 ⋯ a n 1 b 1 n + … + a n n b n n

Passo 2

AB é simétrica se ( A B ) t = A B . A transposta de AB é tal que:

( A B ) t =   a 11 b 11 + … + a 1 n b n 1 a 21 b 11 + … + a 2 n b n 1 a 11 b 12 + … + a 1 n b n 2 a 21 b 12 + … + a 2 n b n 2 ⋯ ⋯ a n 1 b 11 + … + a n n b n 1 a n 1 b 12 + … + a n n b n 2   ⋮                                                                                 ⋯ ⋮ a 11 b 1 n + … + a 1 n b n n a 21 b 1 n + … + a 2 n b n n ⋯ a n 1 b 1 n + … + a n n b n n

No entanto, podemos provar que ( A B ) t =   B t A t :

B t A t = b 11 b 21 b 12 b 22 ⋯ ⋯ b n 1 b n 2     ⋮   ⋯ ⋮ b 1 n b 2 n ⋯ b n n ∙ a 11 a 21 a 12 a 22 ⋯ ⋯ a n 1 a n 2     ⋮   ⋯ ⋮ a 1 n a 2 n ⋯ a n n

B t A t = b 11 a 11 + … + b n 1 a 1 n b 11 a 21 + … + b n 1 a 2 n b 12 a 11 + … + b n 2 a 1 n b 12 a 21 + … + b n 2 a 2 n ⋯ ⋯ b 11 a n 1 + … + b n 1 a n n b 12 a n 1 + … + b n 2 a n n   ⋮                                                                                 ⋯ ⋮ b 1 n a 11 + … + b n n a 1 n b 1 n a 21 + … + b n n a 2 n ⋯ b 1 n a n 1 + … + b n n a n n

Passo 3

Dado que A e B são simétricas, ou seja, A t = A e B t = B :

B t A t = B A

Se AB é simétrica, ( A B ) t = A B .

Como provamos que ( A B ) t =   B t A t :

A B t =   B t A t

A B =   B t A t

A B =   B A

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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