Dizemos que uma matriz A, nxn, é simétrica se A t = A e é anti-simétrica se A t = - A .

e) Mostre que para toda matriz A, nxn, A + A t é simétrica e A - A t é anti-simétrica.

Passo 1

Dada a matriz A quadrada, podemos escrevê-la como:

A =   a 11 a 12 a 21 a 22 ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n

E a transposta de A é tal que:

A t = a 11 a 21 a 12 a 22 ⋯ ⋯ a n 1 a n 2     ⋮   ⋯ ⋮ a 1 n a 2 n ⋯ a n n   .

Passo 2

Agora, desenvolvendo a soma matricial:

A + A t =   a 11 a 12 a 21 a 22 ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n + a 11 a 21 a 12 a 22 ⋯ ⋯ a n 1 a n 2     ⋮   ⋯ ⋮ a 1 n a 2 n ⋯ a n n  

A + A t =   a 11 + a 11 a 12 + a 21 a 21 + a 12 a 22 + a 22 ⋯ ⋯ a 1 n + a n 1 a 2 n + a n 2     ⋮                                         ⋯ ⋮ a n 1 + a 1 n a n 2 + a 2 n ⋯ a n n + a n n

E a transposta dessa soma é:

( A + A t ) t =   a 11 + a 11 a 21 + a 12 a 12 + a 21 a 22 + a 22 ⋯ ⋯ a n 1 + a 1 n a n 2 + a 2 n     ⋮                                       ⋯ ⋮ a 1 n + a n 1 a 2 n + a n 2 ⋯ a n n + a n n

Comparando os termos de A + A t e ( A + A t ) t , notamos que:

A + A t = ( A + A t ) t ,   provando o argumento de simetria.

Passo 3

Por fim, desenvolvendo a subtração matricial:

A - A t =   a 11 a 12 a 21 a 22 ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n - a 11 a 21 a 12 a 22 ⋯ ⋯ a n 1 a n 2     ⋮   ⋯ ⋮ a 1 n a 2 n ⋯ a n n  

A - A t =   a 11 - a 11 a 12 - a 21 a 21 - a 12 a 22 - a 22 ⋯ ⋯ a 1 n - a n 1 a 2 n - a n 2     ⋮                                       ⋯ ⋮ a n 1 - a 1 n a n 2 - a 2 n ⋯ a n n - a n n

E a transposta dessa soma é:

( A - A t ) t =   a 11 - a 11 a 21 - a 12 a 12 - a 21 a 22 - a 22 ⋯ ⋯ a n 1 - a 1 n a n 2 - a 2 n     ⋮                                         ⋯ ⋮ a 1 n - a n 1 a 2 n - a n 2 ⋯ a n n - a n n

Comparando os termos de A - A t e ( A - A t ) t , notamos que:

( A - A t ) t = - ( A - A t ) ,   provando o argumento de anti-simetria

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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