Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 1.1 - Ex. 25e
Dizemos que uma matriz A, nxn, é simétrica se e é anti-simétrica se .
e) Mostre que para toda matriz A, nxn, A + é simétrica e A - é anti-simétrica.
Passo 1
Dada a matriz A quadrada, podemos escrevê-la como:
E a transposta de A é tal que:
.
Passo 2
Agora, desenvolvendo a soma matricial:
E a transposta dessa soma é:
Comparando os termos de e , notamos que:
provando o argumento de simetria.
Passo 3
Por fim, desenvolvendo a subtração matricial:
E a transposta dessa soma é:
Comparando os termos de e , notamos que:
provando o argumento de anti-simetria
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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Para matrizes quadradas, A = ( a i j ) n x n definimos o traço de A como sendo a soma dos elementos da diagonal (principal) de A, ou seja, tr(A) = ∑ i = 1 n a i i .b) Mostre que tr(αA) = αtr(A)
Dizemos que uma matriz A, nxn, é simétrica se A t = A e é anti-simétrica se A t = - A .Mostre que se A é simétrica, então a i j = a j i , para i, j = 1,... n e que se A é anti-simétrica, então a i j =
Para matrizes quadradas, A = ( a i j ) n x n definimos o traço de A como sendo a soma dos elementos da diagonal (principal) de A, ou seja, tr(A) = ∑ i = 1 n a i i .d) Mostre que tr(AB) = tr(BA)
Para matrizes quadradas, A = ( a i j ) n x n definimos o traço de A como sendo a soma dos elementos da diagonal (principal) de A, ou seja, tr(A) = ∑ i = 1 n a i i .Mostre que tr(A+B) = tr(A) + tr(B).
Dizemos que uma matriz A, nxn, é simétrica se A t = A e é anti-simétrica se A t = - A .d) Mostre que se A e B são anti-simétricas, então então A+B e αA são anti-simétricas, para todo escalar α.