Prove o teorema .

, se, e somente se

Ó, primeiro a volta, que é mais fácil: se a matriz é nula, todas as linhas têm a mesma soma dos módulos dos elementos, certo? Como são todos iguais a , então . Beleza! Agora vamos provar a ida. A soma dos módulos dos elementos da maior linha, que vamos dizer que é a linha , é:

Essa soma deu , mas como que pode uma soma de módulos ser ? Só se forem todos , porque menor que isso não fica! Então,

E como essa é a linha com a maior soma, todas as outras teriam que ter uma soma menor ou igual a essa, mas não dá pra ser menor que , então só pode ser igual! Por isso, todas as linhas só tem elementos nulos. Assim, . Fechou!

Vamos dizer que a linha com a maior soma dos módulos em é a linha , e em é a linha , beleza? Enquanto isso, na matriz , a maior vai ser a linha .

Só que pela desigualdade dos números:

Rearrumando:

Só que essa soma de módulos dos ’s e dos ’s não pode ser maior que a soma dos módulos da linha e da linha , porque são eles os maiores! Então:

Show!

Abrindo esse lado esquerdo:

Botando em evidência em cada termo:

E assim,

Como a gente queria!