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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 1.1 - Ex. 25b

Dizemos que uma matriz A, nxn, é simétrica se A t = A e é anti-simétrica se A t = - A .

b) Mostre que se A e B são simétricas, então A+B e αA são simétricas, para todo escalar α.

Passo 1

Dadas matrizes A e B quadradas, podemos escrevê-las como:

A =   a 11 a 12 a 21 a 22 ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ,   B =   b 11 b 12 b 21 b 22 ⋯ ⋯ b 1 n b 2 n     ⋮   ⋯ ⋮ b n 1 b n 2 ⋯ b n n

Passo 2

Se A e B são simétricas, A t = A e B t = B . Desse modo:

( A + B ) t = A t + B t = A + B

Passo 3

Como foi dito, se A é simétrica, A t = A .

( α A ) t = α ( A t ) , visto que α é um escalar e não possui transposta.

Assim:

( α A ) t = α A t =   α A , para todo α .

Dessa forma, ( α A ) t =   α A , provando a simetria.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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