Diz-se que um operador linear T : V → V é nilpotente se existir um número inteiro positivo n , tal que T n = 0 (isto é, T ∘ T ∘ … ∘ T v = 0 ) para todo v ∈ V .

  1. Seja T nilpotente. Encotre seus autovalores.
  2. Encontre uma matriz A 2 × 2 ≠ 0 tal que T A : R 2 → R 2 seja nilpotente.
  3. Mostre que um operador linear nilpotente, não nulo, não é diagonalizável.

Passo 1

  1. Do nosso estudo, a gente sabe que se λ i é autovalor de T respectivo a v i , λ i n é autovalor de T n respectivo a v i .
  2. Poh, pensa comigo: se T n é identicamente nulo, então seu único autovalor possível é o 0 . Assim, a gente conclui que:

    λ i n = 0 ⇒ λ i = 0

    Logo, se a matriz é nilpotente, seus autovalores são nulos.

    Passo 2

  3. Podemos escolher A = 1 1 - 1 - 1 , que se anula com n = 2 .
  4. Passo 3

  5. Se A é nilpotente, seu único autovalor possível é λ = 0 . Disso, seu polinômio minimal deve ser:

m x = x

Mas A é raiz do polinômio minimal, isto é:

m A = A = 0

Logo, se A é diagonalizável, ela deve ser, necessariamente, a matriz nula.

Resposta

  1. Demonstração;
  2. A = 1 1 - 1 - 1 ,   c o m   A 2 = 0 ;
  3. Demonstração.
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