Diz-se que um operador linear é nilpotente se existir um número inteiro positivo , tal que (isto é, ) para todo .
- Seja nilpotente. Encotre seus autovalores.
- Encontre uma matriz tal que seja nilpotente.
- Mostre que um operador linear nilpotente, não nulo, não é diagonalizável.
Passo 1
- Do nosso estudo, a gente sabe que se é autovalor de respectivo a , é autovalor de respectivo a .
- Podemos escolher , que se anula com .
- Se é nilpotente, seu único autovalor possível é . Disso, seu polinômio minimal deve ser:
Poh, pensa comigo: se é identicamente nulo, então seu único autovalor possível é o . Assim, a gente conclui que:
Logo, se a matriz é nilpotente, seus autovalores são nulos.
Passo 2
Passo 3
Mas é raiz do polinômio minimal, isto é:
Logo, se é diagonalizável, ela deve ser, necessariamente, a matriz nula.
Resposta
- Demonstração;
- ;
- Demonstração.