Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 10
Diz-se que um operador linear é nilpotente se existir um número inteiro positivo , tal que (isto é, ) para todo .
- Seja nilpotente. Encotre seus autovalores.
- Encontre uma matriz tal que seja nilpotente.
- Mostre que um operador linear nilpotente, não nulo, não é diagonalizável.
Passo 1
- Do nosso estudo, a gente sabe que se é autovalor de respectivo a , é autovalor de respectivo a .
- Podemos escolher , que se anula com .
- Se é nilpotente, seu único autovalor possível é . Disso, seu polinômio minimal deve ser:
Poh, pensa comigo: se é identicamente nulo, então seu único autovalor possível é o . Assim, a gente conclui que:
Logo, se a matriz é nilpotente, seus autovalores são nulos.
Passo 2
Passo 3
Mas é raiz do polinômio minimal, isto é:
Logo, se é diagonalizável, ela deve ser, necessariamente, a matriz nula.
Resposta
- Demonstração;
- ;
- Demonstração.
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Diz-se que um operador linear T : V → V é idempotente se T 2 = T (isto é, se T ∘ T v = T v para todo v ∈ V ).Seja T idempotente. Ache seus autovalores.Encontre uma matriz A 2 × 2 ≠ 0 tal que T A : R 2
Verificar se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determinar uma matriz P que diagonaliza A e calcular P - 1 A P . A = 5 - 1 1 3
Verificar se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determinar uma matriz P que diagonaliza A e calcular P - 1 A P . A = 3 0 - 2 - 5 1 5 2 0 - 1
Verificar se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determinar uma matriz P que diagonaliza A e calcular P - 1 A P . A = 2 3 - 1 0 1 - 4 0 0 3
Verificar se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determinar uma matriz P que diagonaliza A e calcular P - 1 A P . A = 1 - 2 - 2 0 1 0 0 2 3