Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 11c
Verificar se a matriz é diagonalizável. Caso seja, determinar uma matriz que diagonaliza e calcular .
Passo 1
O problema fornece uma matriz e pede para verificar se ela é diagonalizável ou não. Se ela for, temos que encontrar a matriz de modo que seja diagonal.
Basicamente, o que temos que fazer é encontrar os autovalores de e seus autovetores associados. Se os autovetores formarem uma base, então a matriz será diagonalizável! Neste caso, as colunas da matriz são as componentes dos autovetores.
já primeira coisa que você tem que tentar fazer é achar os autovalores resolvendo a equação característica:
Assim,
Portanto,
Fazendo a distribuitiva:
E isso aqui é um quadrado perfeito
Então temos dois autovalores iguais
Passo 2
Para encontrarmos um autovetor da nossa matriz temos que fazer
Para
Fazendo essa multiplicação de matrizes
E comparando os dois vetores chegamos à conclusão que . Então o autovetor associado a esse autovalor vai ser
E esse é o único autovetor que temos. Como só ele não forma uma base do , então não é diagonalizável.
Resposta
não é diagonalizável