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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 8.9 - Ex. 12

Seja P 2 o espaço das funções polinomiais reais de grau menor ou igual a dois. Definimos em P 2

< f , g >   =   ∫ - 1 1 f ( t ) g ( t ) d t

Considere W o subespaço de P 2 gerado pelos vetores p t = 1 e q t = 1 - t .

  1. < f , g > é um produto interno?
  2. Se a resposta de (a) for afirmativa determine uma base ortogonal para W .

Passo 1

  1. Vamos verificar as propriedades:
    1. < f , f > = ∫ - 1 1 f ( t ) f ( t ) d t = ∫ - 1 1 f 2 ( t ) d t ≥ 0 , ocorrendo a igualdade apenas quando f t = 0 .
    2. < α f , g > = ∫ - 1 1 α f ( t ) g ( t ) d t = α ∫ - 1 1 f ( t ) g ( t ) d t = α < f , g >
    3. < f + g , h > = ∫ - 1 1 f t + g t h ( t ) d t = ∫ - 1 1 f t h ( t ) d t + ∫ - 1 1 g t h ( t ) d t = < f , h > + < g , h >
    4. < f , g > = ∫ - 1 1 f ( t ) g ( t ) d t = ∫ - 1 1 g ( t ) f ( t ) d t = < g , h >

    Passo 2

  2. Bom, uma base natural para P 2 é a seguinte:

{ 1 , t , t 2 }

Vamos Ortogonalizar:

u 1 = 1

u 2 = t - < 1 , t > 1 < 1,1 >

< 1 , t > = ∫ - 1 1 1 ∙ t d t = ∫ - 1 1 t d t = 0

Logo: u 2 = t .

Além disso:

u 3 = t 2 - < t 2 , t > t < t , t > - < t 2 , 1 > 1 < 1,1 >

Resolvendo as integrais, a gente tem:

u 3 = t 2 - 1 3

Resposta

  1. Demonstração;
  2. { 1 , t , t 2 - 1 3 } .
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