Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 11h
Verificar se a matriz é diagonalizável. Caso seja, determinar uma matriz que diagonaliza e calcular .
Passo 1
O problema fornece uma matriz e pede para verificar se ela é diagonalizável ou não. Se ela for, temos que encontrar a matriz de modo que seja diagonal.
Basicamente, o que temos que fazer é encontrar os autovalores de e seus autovetores associados. Se os autovetores formarem uma base, então a matriz será diagonalizável! Neste caso, as colunas da matriz são as componentes dos autovetores.
já primeira coisa que você tem que tentar fazer é achar os autovalores resolvendo a equação característica:
Assim,
Desenvolvendo o determinante com relação a segunda coluna:
Portanto,
Portanto, o único autovalor será
Assim, para que a matriz seja diagonalizável, a dimensão do autoespaço associado a esse autovalor deve ser .
Passo 2
A equação para determinarmos os autovetores é
Usando :
As três equações são equivalentes e tiramos que
Assim,
Desta forma, vemos que o autoespaço associado ao autovalor é gerado pelo conjunto . Sendo assim, sua dimensão é dois. Portanto, não é diagonalizável!
Resposta
não é diagonalizável