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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.3 - Ex. 22a

Embora não exista o produto vetorial de dois vetores em R n , para n > 3 , podemos definir o produto vetorial de n - 1 vetores, V 1 = v 11 , … , v 1 n , … v n - 1 = ( v n - 1 1 , … , v n - 1 n como

V 1   x   V 2 x … x   V n - 1 = - 1 n + 1 det ⁡ v i j i ≠ j , - 1 n + 2 det ⁡ v i j j ≠ 2 , … , - 1 2 n det ⁡ v i j j ≠ n .

Mostre que:

a) V 1   x   V 2   x … x   V n - 1 é ortogonal a V 1 , … , V n - 1 ;

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão do livro de álgebra linear do Reginaldo Santos embora não exista o produto vetorial de dois vetores em R n , para n > 3 , podemos definir o produto vetorial de n - 1 vetores, V 1 = v 11 , … , v 1 n , … v n - 1 = ( v n - 1 1 , … , v n - 1 n ) como

V 1   x   V 2 x … x   V n - 1 = - 1 n + 1 det ⁡ v i j i ≠ j , - 1 n + 2 det ⁡ v i j j ≠ 2 , … , - 1 2 n det ⁡ v i j j ≠ n .

Mostre que:

a) V 1   x   V 2   x … x   V n - 1 é ortogonal a V 1 , … , V n - 1 ;

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Sabendo que,

V 1 = v 11 , … , v 1 n , … v n - 1 = ( v n - 1 1 , … , v n - 1 n )

Definido por,

V 1   x   V 2 x … x   V n - 1 = - 1 n + 1 det ⁡ v i j i ≠ j , - 1 n + 2 det ⁡ v i j j ≠ 2 , … , - 1 2 n det ⁡ v i j j ≠ n .

Para mostrar que,

V 1   x   V 2   x … x   V n - 1 é ortogonal a V 1 , … , V n - 1 temos que,

v 11 , … , v 1 n x   V 2   x … x   V n - 1 = V i , … , V n - 1

Sendo,

V 1   x   V 2   x … V n - 1 ≠ 0

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

V 1   x   V 2   x … V n - 1 ≠ 0

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