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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 3.Testes do Capítulo - Ex. 3a

Sejam U e V vetores no espaço, com V ≠ 0 - .

a) Determine o número α , tal que U - α V seja ortogonal a   V .

Passo 1

Oiiie, tudo certinho contigo?

Para essa questão vamos relembrar rapidinho a definição de ortogonalidade:

U ⋅ V = 0

Se essa relação for verdade, temos que U   e   V são ortogonais! Vamos aplicar isso no caso do nosso problema!

Passo 2

Temos os vetores V 1 = V e V 2 = U - α V , de forma que temos que:

U - α V ⋅ V

O produto escalar é distributivo, portanto, temos que

U ⋅ V - α   V ⋅ V

Temos que achar os valores de α para que esta relação seja 0, saca só!

Passo 3

Temos que

U ⋅ V - α V ⋅ V = 0 → α = U ⋅ V V ⋅ V  

Se lembrarmos que V ⋅ V = V 2 , temos que:

α = U ⋅ V V 2

Vamos para a próxima alternativa!!

Resposta

Ao longo dos passos!

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que se V é ortogonal a W 1 ,. . .,W k , então V é ortogonal a qualquer combinação linear de W 1 ,. . .,W k .
Encontre uma base ortonormal para o plano x + y + z = 0 .
Mostre que o conjunto de todos os vetores do R n ortogonais a um dado vetor V = ( a 1 ,. . ., a n ) , W = { X = ( x 1 ,. . ., x n ) ∈ R n | X ⋅ V = 0 } é um subespaço de R n .
Mostre que se V é ortogonal a W , então V é ortogonal a α W , para todo escalar α .
Mostre que se W 1 ,. . .,W k são vetores não nulos ortogonais entre si e X = α 1 W 1 +. . .+ α k W k , então X = p r o j W 1 X +. . .+p r o j W k X .