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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 9.5 - Ex. 7

Encontre uma decomposição em valores singulares de A.

A = 4 6 0 4

Passo 1

Vamos lá! Primeiro temos que lembrar da nossa formula.

A T A - I λ = 0

Vamos fazer uma pequena alteração na nossa matriz A para

Sendo nossa matriz A dada por:

A = 4 6 0 4

Então a transposta será.

A T = 4 0 6 4

Assim A T A vai ficar.

A T A = 16 24 24 52

A T A - I λ = 0

A T A - I λ = 16 - λ 24 24 52 - λ

A T A - I λ = λ 2 - 68 λ + 256 = 0

Resolvendo por Bhaskara temos:

λ 1 = 4 ,   λ 2 = 64 .

Assim nossos autovalores serão

σ 1 = 2 ,   σ 2 = 8 .

Passo 2

Agora vamos calcular nossos autovetores, a formula é dada por:

A T A - I λ ⋅ x = 0 l

Para λ 1 temos:

16 - 4 24 24 52 - 4 ⋅ x 1 x 2 = 0 ,   x 1 = - 2 x 2

v 1 = - 2 1

Como nosso vetor precisa ser ortonormal.

v 1 = - 2 2 + 1 2 = 5

v 1 = v 1 v 1 = - 2 5 1 5

Para λ 2 temos:

16 - 64 24 24 52 - 64 ⋅ x 1 x 2 = 0 ,   2 x 1 = x 2

v 2 = 1 2

Como nosso vetor precisa ser ortonormal.

v 2 = - 2 2 + 1 2 = 5

v 2 = v 2 v 2 = 1 5 2 5

Passo 3

Assim nossos vetores colunas da matriz ortogonal U

u = A v σ

Para v 1 temos:

u 1 = 1 2 ⋅ 4 6 0 4 ⋅ - 2 5 1 5 = 2 1

u 1 = - 1 5 2 5

Para v 2 temos:

u 2 = 1 8 ⋅ 4 6 0 4 ⋅ 1 5 2 5 = 2 5 1 5

u 2 = 2 5 1 5

Passo 4

Agora vamos montar nossa matriz A como função de sua decomposição de valores singulares:

A = U Σ V T

4 0 6 4 = - 1 5 2 5 2 5 1 5 ⋅ 2 0 0 8 ⋅ - 2 5 1 5 1 5 2 5

Isso é tudo pessoal! \o/

Até a próxima!

Resposta

U Σ V T = - 1 5 2 5 2 5 1 5 ⋅ 2 0 0 8 ⋅ - 2 5 1 5 1 5 2 5

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