Para uso neste exercício, definimos uma “matriz X ” como sendo uma matriz quadrada com um número ímpar de linhas e colunas que tem 0 em cada entrada, exceto nas diagonais principal e secundária, onde tem todas entradas iguais a 1. Encontre o posto e a nulidade das matrizes X a seguir

a)

b)

c) A matriz X de tamanho ( 2 n   +   1 )   ×   ( 2 n   +   1 ) .

Passo 1

(a)

Vamos lá! temos de entender que essa matriz se trata de um tipo especial de matriz simétrica, que tem uma linha central que funciona como espelho e a partir dela a matriz se torna uma reflexão da primeira metade, como no exemplo a seguir:

Nossa linha de reflexão.

Assim temos que a segunda metade da matriz simplificada vai ser totalmente nula.

Sabendo que o posto é a quantidade de linhas não nulas e a nulidade é a quantidade de linhas nulas.

Assim temos:

p o s M T = 2   e   n u l M T = 1

Passo 2

(b)

Seguindo a mesma lógica do item anterior temos:

Sendo o posto é a quantidade de linhas não nulas e a nulidade é a quantidade de linhas nulas.

Assim temos:

p o s M T = 3   e   n u l M T = 2

Passo 3

(c)

Vamos lá! Seguindo a lógica do item (a) temos:

Sendo o posto é a quantidade de linhas não nulas e a nulidade é a quantidade de linhas nulas sendo o número de linhas e colunas ( 2 n + 1 ) .

Assim temos:

p o s M T = ( n + 1 )   e   n u l M T = ( n - 1 )

Resposta

(a) p o s M T = 2   e   n u l M T = 1

(b) p o s M T = 3   e   n u l M T = 2

(c) p o s M T = ( n + 1 )   e   n u l M T = ( n - 1 )

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