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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.1 - Ex. 10

Considere a base S = ( v 1 , v 2 ) de R 2 , em que v 1 = ( - 2,1 ) e v 2 = ( 1,3 ) e seja T : R 2 → R 2 a transformação linear tal que

T v 1 = - 1,2 , 0               e               T v 2 = ( 0 , - 3,5 )

Encontre uma fórmula para T ( x 1 , x 2 ) e use essa fórmula para obter T ( 2 , - 3 ) .

Passo 1

Oieee, tudo bem?

Enfim, vamos atrás dessa fórmula.

Passo 2

Vamos considerar a base para R 2 dada por:

S = - 2 1 , 1 3

E vamos considerar o operador T : R 2 → R 3 para a qual:

T v 1 = - 1 2 0 e T v 2 = 0 - 3 5

Vamos à primeira fórmula para T ( x 1 , x 2 ) :

x 1 , x 2 = a v 1 + b v 2

= a - 2 1 + b 1 3

Que vai ficar:

x 1 = - 2 a + b

x 2 = a + 3 b

a = 1 7 - 3 x 1 + x 2

b = 1 7 ( x 1 + 2 x 2 )

O que nos dá:

x 1 , x 2 = 1 7 - 3 x 1 + x 2 v 1 + 1 7 x 1 + 2 x 2 v 2

Isso nos leva a:

T x 1 , x 2 = T 1 7 - 3 x 1 + x 2 v 1 + 1 7 x 1 + 2 x 2 v 2

= 1 7 - 3 x 1 + x 2 T v 1 + 1 7 x 1 + 2 x 2 T v 2

= 1 7 - 3 x 1 + x 2 - 1 2 0 + 1 7 x 1 + 2 x 2 0 - 3 5

= 3 x 1 - x 2 7   - 9 x 1 - 4 x 2 7 5 x 1 + 10 x 2 7

Então:

T 2 , - 3 = 9 7 - 6 7 - 20 7

Resposta

T x 1 , x 2 = 3 7 - 9 7 5 7 x 1 + - 1 7 - 4 7 10 7 x 2

T 2 , - 3 = 9 7 - 6 7 - 20 7

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