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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.12 - Ex. 19

Encontre as entradas que faltam na matriz estocástica

P = 7 / 10 * 1 / 5 * 3 / 10 * 1 / 10 3 / 5 3 / 10

E encontre seu vetor de estado estacionário.

Passo 1

Como nossa matriz é uma matriz estocástica fica fácil encontrarmos os valores de cada um dos * pois em uma matriz estocástica a soma dos valores dos elementos de cada coluna deve ser igual a 1 . Sendo assim, nós teremos

C o l u n a   1 :   7 10 + x + 1 10 = 1 → x = 1 - 8 10 = 2 10 = 1 5

C o l u n a   2 :     y + 3 10 + 3 5 = 1 → y = 1 - 9 10 = 1 10

C o l u n a   3 :   1 5 + z + 3 10 = 1 → z = 1 - 5 10 = 5 10 = 1 2

Dessa forma, nossa matriz fica sendo

P = 7 / 10 1 / 10 1 / 5 1 / 5 3 / 10 1 / 2 1 / 10 3 / 5 3 / 10

Passo 2

Tomemos um vetor de estado estacionário q de dimensão 3 × 1 dado por

q = q 1 q 2 q 3

Como nossa matriz é estocástica devemos ter que

P q = q

→   7 / 10 1 / 10 1 / 5 1 / 5 3 / 10 1 / 2 1 / 10 3 / 5 3 / 10 ⋅ q 1 q 2 q 3 = q 1 q 2 q 3

Além disso, devemos ter que

I - P ⋅ q = 0

Então,

3 / 10 - 1 / 10 - 1 / 5 - 1 / 5 7 / 10 - 1 / 2 - 1 / 10 - 3 / 5 7 / 10 ⋅ q 1 q 2 q 3 = 0 0 0

A partir daí temos o seguinte sistema de equações

3 q 1 - q 2 - 2 q 2 = 0 - 2 q 1 + 7 q 2 - 5 q 3 = 0 - q 1 - 6 q 2 + 7 q 3 = 0

Manipulando esse sistema vamos encontrar

q 1 + 6 q 2 - 7 q 2 = 0 0 q 1 + 19 q 2 - 19 q 3 = 0 0 q 1 + 0 q 2 + 0 q 3 = 0 → q 2 = q 3 , q 1 - q 3 = 0 → q 1 = q 3

Sendo assim concluímos que q 1 = q 2 = q 3 como a soma dos valores do nosso vetor de estado estacionário deve ser igual a 1 vamos ter

q 1 + q 2 + q 3 = 1 → 3 q 1 = 1 → q 1 = 1 3

Logo, nosso vetor de estado estacionário vai ser dado por

q = 1 / 3 1 / 3 1 / 3

Resposta

P = 3 / 10 - 1 / 10 - 1 / 5 - 1 / 5 7 / 10 - 1 / 2 - 1 / 10 - 3 / 5 7 / 10 ,     q = 1 / 3 1 / 3 1 / 3

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