No exercício 8, verifique que P é uma matriz estocástica regular e encontre o vetor de estado estacionário da cadeia de Markov associada.

P = 0,2 0,6 0,8 0,4

Passo 1

Primeiramente, devemos verificar se a matriz é estocástica, e podemos utilizar a mesma abordagem que aprendemos no exercício anterior,

Como todas as entradas são positivas e as somas dos elementos dos vetores coluna da matriz é igual a 1, a matriz P é uma matriz estocástica.

Passo 2

Agora, para sabermos se ela será regular, se P ou alguma potência positiva de P tiver todas as entradas positivas e não nulas, nesse caso,

P = 0,2 0,6 0,8 0,4

Não é necessário fazer a potência de P, pois ela já possui todas as entradas positivas. Com isso, P é uma matriz estocástica regular.

Passo 3

Para encontramos o vetor de estado estacionário de uma matriz P qualquer, precisamos encontrar um vetor q eu respeite a seguinte equação,

I - P q = 0

Sendo assim, substituindo os valores temos,

      0,8 - 0,6 - 0,8       0,6 q 1 q 2 = 0 0

Escrevendo a matriz na forma de sistemas de equações,

0,8 q 1 - 0,6 q 2 = 0 - 0,8 q 1 + 0,6 q 2 = 0

Resolvendo o sistema, encontramos que

q 2 = s ;         q 1 = 0,75 s

Passo 4

Para q ser um vetor probabilidade, precisamos ter

1 = q 1 + q 2 = 0,75 s + s =   1,75 s

∴         s =   0,5742

Resposta

Com isso, encontramos o vetor de estado estacionário,

q = q 1 q 2 = 0,4285 0,5752

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