Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.12 - Ex. 8
No exercício 8, verifique que P é uma matriz estocástica regular e encontre o vetor de estado estacionário da cadeia de Markov associada.
Passo 1
Primeiramente, devemos verificar se a matriz é estocástica, e podemos utilizar a mesma abordagem que aprendemos no exercício anterior,
Como todas as entradas são positivas e as somas dos elementos dos vetores coluna da matriz é igual a 1, a matriz P é uma matriz estocástica.
Passo 2
Agora, para sabermos se ela será regular, se P ou alguma potência positiva de P tiver todas as entradas positivas e não nulas, nesse caso,
Não é necessário fazer a potência de P, pois ela já possui todas as entradas positivas. Com isso, P é uma matriz estocástica regular.
Passo 3
Para encontramos o vetor de estado estacionário de uma matriz P qualquer, precisamos encontrar um vetor q eu respeite a seguinte equação,
Sendo assim, substituindo os valores temos,
Escrevendo a matriz na forma de sistemas de equações,
Resolvendo o sistema, encontramos que
Passo 4
Para q ser um vetor probabilidade, precisamos ter
Resposta
Com isso, encontramos o vetor de estado estacionário,