Enunciado

Os traços físicos são determinados pelos genes que um descendente recebe de seus dois ascendentes. No caso mais simples, um traço no descendente é determinado por um par de genes, um de cada um dos dois ascendentes. Em geral, cada gene num par pode tomar uma de duas formas, denotadas por A e a , que são os alelos. Isso leva a três pareamentos possíveis, a saber,

A A , A a ,   a a

Denominados genótipos (os pares A a   e   a A determinam o mesmo traço e são, portanto, indistinguíveis). Mostra-se no estudo da hereditariedade, que se um dos ascendentes tiver genótipo conhecido e o outro ascendente for de genótipo aleatório, então o descendente terá a probabilidade de genótipo dada na próxima tabela, que pode ser vista como uma matriz de transição de um processo de Markov.

Assim, por exemplo, o descendente de um ascendente de genótipo A A e de outro escolhido aleatoriamente e de genótipo desconhecido tem uma chance de 50 % de ser A A , 50 % de ser A a e nenhuma chance de ser a a .

a Mostre que a matriz de transição é regular.

b Encontre o vetor estacionário e discuta sua interpretação física.

Passo 1

Primeiramente temos que nossa matriz de transição vai ser dada por

P = 1 / 2 1 / 4 0 1 / 2 1 / 2 1 / 2 0 1 / 4 1 / 2

Podemos dizer que a matriz acima é estocástica, pois a soma das entradas em cada coluna é 1 e duas entradas da matriz são 0. Tomemos então, nossa matriz de transição e façamos

P 2 = 1 / 2 1 / 4 0 1 / 2 1 / 2 1 / 2 0 1 / 4 1 / 2 ⋅ 1 / 2 1 / 4 0 1 / 2 1 / 2 1 / 2 0 1 / 4 1 / 2 = 3 / 8 1 / 4 1 / 8 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 8 1 / 4 3 / 8

Como, todas as entradas de P 2 são não negativas temos que a matriz P é uma matriz regular.

Passo 2

Agora, tomemos q como nosso vetor de estado estacionário onde P q = q (onde q é uma matriz de dimensão 3 × 1 ). Assim, teremos

P q = q

→   1 / 2 1 / 4 0 1 / 2 1 / 2 1 / 2 0 1 / 4 1 / 2 ⋅ q 1 q 2 q 3 = q 1 q 2 q 3

Além disso, devemos ter que

P - I ⋅ q = 0

Então,

- 1 / 2 1 / 4 0 1 / 2 - 1 / 2 1 / 2 0 1 / 4 - 1 / 2 ⋅ q 1 q 2 q 3 = 0 0 0

A partir daí temos o seguinte sistema de equações

q 2 = 2 q 1 q 1 + q 3 = q 2 q 2 = 2 q 3 → q 3 = q 1

Como devemos ter que a soma dos valores de q deve ser igual a 1 vamos ter

q 1 + q 2 + q 3 = 1 → q 1 + 2 q 1 + q 1 = 1 → q 1 = 1 4

Dessa forma podemos concluir que

q 1 = 1 4 ,     q 2 = 2 4   ,     q 3 = 1 4

Assim, nosso vetor de estado estacionário será

q = 1 / 4 2 / 4 1 / 4

Resposta

a   D e m o n s t r a ç ã o

b

q = 1 / 4 2 / 4 1 / 4

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