Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 28
Encontre a expressão da transformação linear que é uma rotação de em torno da reta que passa pela origem e tem a direção do vetor .
Passo 1
Estamos procurando uma transformação que por uma rotação leve um no vetor . Pra achar o que a gente quer, vamos usar três paradas, umas propriedades geométricas. Primeiro: o vetor, depois que for rodado, mantém o seu módulo. Segundo: O ângulo entre o vetor original e o eixo é igual ao ângulo entre o vetor rodado e o eixo. Terceiro: O ângulo entre o vetor original e o rodado é de , ou pros mais íntimos hahahah. Seguinte, se a transformação é linear, concorda comigo que a gente pode calcular o que ela dá pros vetores da base canônica, , e depois passar pra um qualquer? Claro que você concorda! Bora lá então! Pra rodar, eu vou pegar o sentido horário a partir da origem como positivo.
Passo 2
Primeiro vamos mexer com o vetor . O vetor que vai ser ele rodado tem o mesmo módulo que ele, então:
Beleza, agora a parada do ângulo. Se eles são iguais, podemos igualar os cossenos, porque sabemos aquela fórmula. Vamos fazer isso então. Do lado esquerdo, o cosseno do ângulo entre o rodado e o eixo, e do lado esquerdo, o cosseno do ângulo entre o original e o eixo.
Resolvendo o produto escalar e substituindo o valor de , depois cortando o que tem que cortar:
Agora o ângulo entre o rodado e o original, que é de : vamos mexer com o cosseno de novo.
Substituindo, , e botando lá na primeira equação,
Passo 3
Beleza, vamos fazer igualzinho pro vetor , mas indo mais resumidamente. As mesmas propriedades vão valer! Pro módulo:
O ângulo entre os vetores e o eixo são iguais:
E o ângulo entre os vetores é :
Substituindo, , e botando lá na primeira equação,
Esse fica negativo porque, quando rodar os , ele vai passar pra parte de baixo do eixo , saca?
Passo 4
Agora pro terceiro e último, , vai ficar assim:
Pro módulo:
O ângulo entre os vetores e o eixo são iguais:
E o ângulo entre os vetores é :
Botando isso lá na primeira equação, e usando que :
E assim, .
Passo 5
Show de bola, já temos a transformação para os vetores da base canônica! Agora vamos aproveitar o fato de que ela é linear:
Somando as três: