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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 24

Seja

A = 0 0 0       1 2 1

B = 0 1 - 1       0 2 0         0 1 0

Encontre ker ⁡ T A , I m   T A , ker ⁡ T B , I m   T B , ker ⁡ ( T B ∘ T A ) , I m T B ∘ T A . Determine bases para estes seis subespaços.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Sejam α e β as bases canônicas do R 2 e R 3 respectivamente, temos que:

Para A :

A v = 0 0 0       1 2 1 x y = y 2 y y

A v = y 1,0 , 0 + 2 y 0,1 , 0 + y ( 0,0 , 1 )

A v = ( y , 2 y , y )

Para B , temos:

B v = 0 1 - 1       0 2 0         0 1 0 x y z = 0 x + 2 y + z - x

B v = 0 1,0 , 0 + x + 2 y + z 0,1 , 0 + ( - x ) ( 0,0 , 1 )

B v = ( 0 , x + 2 y + z , - x )

Passo 2

Para o núcleo de A , temos:

ker ⁡ T A ; A v = 0

( y , 2 y , y ) = 0

y = 0

A base do núcleo de A é então:

ker ⁡ T A = x , y = ( x , 0 )

1,0   é   b a s e   d e ker ⁡ T A

Para o núcleo de B , temos:

ker ⁡ T B ; B v = 0

( 0 , x + 2 y + z , - x ) = 0

x = 0

z = - 2 y

A base do núcleo de B é então:

ker ⁡ T B = x , y , z = ( 0 , y , - 2 y )

y ( 0,1 , - 2 )

( 0,1 , - 2 )   é   b a s e   d e ker ⁡ T B

Passo 3

Para a imagem de A , temos:

I m   T A ; A v = w

y , 2 y , y = y ( 1,2 , 1 )

1,2 , 1   é   b a s e   d e   I m   T A

Para a imagem de B , temos:

I m   T B ; B v = w

0 , x + 2 y + z , - x = x 0,1 , - 1 + y 0,2 , 0 + z ( 0,1 , 0 )

0,1 , - 1 ,   0,2 , 0   é   b a s e   d e   I m   T B

I m   T B = 0,1 , - 1 , 0,2 , 0 , ( 0,1 , 0 )

Passo 4

Para T B ∘ T A = B A :

T B ∘ T A = 0 1 - 1       0 2 0         0 1 0 0 0 0       1 2 1

T B ∘ T A = 0 0 0       0 6 - 1

T B ∘ T A v = 0 0 0       0 6 - 1 x y

T B ∘ T A v = 0 6 y - y

T B ∘ T A v = 0,6 y , - y

Para o núcleo de T B ∘ T A , temos:

ker ⁡ T B ∘ T A → 0,6 y , - y = 0

0,6 y , - y = 0

y = 0

ker ⁡ T B ∘ T A = x , y = x , 0 = x ( 1,0 )

1,0   é   b a s e   d e ker ⁡ T B ∘ T A

Para a imagem de T B ∘ T A , temos:

I m   T B ∘ T A = x , y , z | T v = w

0,6 y , - y = y ( 0,6 , - 1 )

( 0,6 , - 1 )   é   b a s e   d e   I m   T B ∘ T A

Resposta

ker ⁡ T A = x , y = ( x , 0 )

1,0   é   b a s e   d e ker ⁡ T A

1,2 , 1   é   b a s e   d e   I m   T A

ker ⁡ T B = { x , y , z ∈ R 3 ; x = 0   e   z = - 2 y } = ( 0 , y , - 2 y )

( 0,1 , - 2 )   é   b a s e   d e ker ⁡ T B

I m   T B = 0,1 , - 1 , 0,2 , 0 , ( 0,1 , 0 )

ker ⁡ T B ∘ T A = x , y = x , 0 = x ( 1,0 )

1,0   é   b a s e   d e ker ⁡ T B ∘ T A

( 0,6 , - 1 )   é   b a s e �� d e   I m   T B ∘ T A

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