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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 13

Se R (x , y) = (2 x , x - y , y) e S (x , y , z) = ( y - z , z - x )

  1. Ache [R @ S] .
  2. Ache [S @ R] .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Item a:

[R @ S] = [R] [S]

[R @ S] = [[[2],[1],[0]] [[0],[- 1],[1]]] [[[0],[- 1]] [[1],[0]] [[- 1],[1]]]

Temos que:

[R @ S] = [[[0 (2) + ( - 1 ) 0],[0 (1) + ( - 1 ) ( - 1 )],[0 (0) + ( - 1 ) 0]] [[2 (1) + 0 (0)],[1 (1) - 1 (0)],[0 (1) + 1 (0)]] [[- 1 (2) + 1 ( 0 )],[- 1 (1) + 1 ( - 1 )],[- 1 (0) + 1 ( 1 )]]]

[R @ S] = [[[0],[1],[- 1]] [[2],[1],[0]] [[- 2],[- 2],[1]]]

Item b:

[S @ R] = [S] [r]

[S @ R] = [[[0],[- 1]] [[1],[0]] [[- 1],[1]]] [[[2],[1],[0]] [[0],[- 1],[1]]]

Temos que:

[S @ R] = [[[2 (0) + 1 (1) + 0 ( - 1 )],[2 (- 1) + 1 (0) + 0 ( 1 )]] [[0 (0) - 1 (1) + 1 ( - 1 )],[0 (- 1) - 1 (0) + 1 ( 1 )]]]

[S @ R] = [[[1],[- 2]] [[- 2],[1]]]

Resposta

a ) [R @ S] = [[[0],[1],[- 1]] [[2],[1],[0]] [[- 2],[- 2],[1]]]

b ) [S @ R] = [[[1],[- 2]] [[- 2],[1]]]

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Sejam R ,S e T três transformações lineares de R 3 em R 3 .Se R = 1 2 00 1 - 11 1 1 e S = - 2 3 11 1 - 2- 1 2 0 , ache T tal que R = S ∘ T .
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No plano, uma rotação anti-horária de 45 ° é seguida por uma dilatação de 2 . Ache a aplicação A que representa esta transformação no plano.
Mostre que se T : V → W é uma transformação linear: I m ( T ) é subespaço de W . k e r ⁡ ( T ) é subespaço de V .