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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 25

Encontre A^n se n for um inteiro positivo e:

A = [[[3,-,1,0],[-,1,2,-,1],[0,-,1,3]]]

Passo 1

A = [[[3,-,1,0],[-,1,2,-,1],[0,-,1,3]]]

Primeiro vamos determinar os autovalores:

det (lambda I - A) = 0

|[[lambda,-,3,1,0],[1,lambda,-,2,1],[0,1,lambda,-,3]]| = 0

(lambda - 3) (lambda - 2) (lambda - 3) - (lambda - 3) - ( lambda - 3 )

(lambda - 3) [(lambda - 2) (lambda - 3) - 2]

(lambda - 3) [lambda^2 - 5 lambda + 4] = 0

(lambda - 1) (lambda - 3) (lambda - 4) = 0

Os autovalores são:

lambda_1 = 1

lambda_2 = 3

lambda_3 = 4

Passo 2

Vamos determinar os autovetores:

[[[lambda,-,3,1,0],[1,lambda,-,2,1],[0,1,lambda,-,3]]] [[[x_1],[x_2],[x_3]]] = [[[0],[0],[0]]]

Para lambda_1 = 1

[[[-,2,1,0],[1,-,1,1],[0,1,-,2]]] [[[x_1],[x_2],[x_3]]] = [[[0],[0],[0]]]

Por eliminação gaussiana, podemos pegar a segunda linha, multiplicar por 2 e somar na terceira linha

[[[-,2,1,0],[1,-,1,1],[2,-,1,0]]] [[[x_1],[x_2],[x_3]]] = [[[0],[0],[0]]]

E somamos a primeira linha na segunda:

[[[-,2,1,0],[1,-,1,1],[0,0,0]]] [[[x_1],[x_2],[x_3]]] = [[[0],[0],[0]]]

Então:

[[x_1,=,t,x_2,=,2,t,x_3,=,t]]

O autovetor é:

lambda_1 = 1 => vec x_1 = t [[[1],[2],[1]]]

Então a base de autovetor associada é:

vec p_1 = [[[1],[2],[1]]]

Passo 3

Para lambda_2 = 3

[[[0,1,0],[1,1,1],[0,1,0]]] [[[x_1],[x_2],[x_3]]] = [[[0],[0],[0]]]

Logo:

[[x_1,=,t,x_2,=,0,x_3,=,-,t]]

O autovetor é:

lambda_2 = 3 => vec x_2 = t [[[1],[0],[-,1]]]

Então a base de autovetor associada é:

vec p_2 = [[[1],[0],[-,1]]]

Passo 4

Para lambda_3 = 4

[[[1,1,0],[1,2,1],[0,1,1]]] [[[x_1],[x_2],[x_3]]] = [[[0],[0],[0]]]

Por eliminação gaussiana, vamos pegar a terceira linha e subtrair na segunda:

[[[1,1,0],[1,1,0],[0,1,1]]] [[[x_1],[x_2],[x_3]]] = [[[0],[0],[0]]]

E agora pegamos a primeira linha e subtraímos na segunda:

[[[1,1,0],[0,0,0],[0,1,1]]] [[[x_1],[x_2],[x_3]]] = [[[0],[0],[0]]]

Logo:

[[x_1,=,t,x_2,=,-,t,x_3,=,t]]

O autovetor é:

lambda_3 = 3 => vec x_3 = t [[[1],[-,1],[1]]]

Então a base de autovetor associada é:

vec p_3 = [[[1],[-,1],[1]]]

Passo 5

Então a matriz P é:

P = [[[vec p_1,vec p_2,vec p_3]]] = [[[[[1],[2],[1]],[[1],[0],[-,1]],[[1],[-,1],[1]]]]]

E a matriz diagonal é:

D = [[[1,0,0],[0,3,0],[0,0,4]]]

E a inversa da matriz P é:

P^(- 1) = [[[[[1,//,6],[1,//,2],[1,//,3]],[[1,//,3],[0],[-,1,//,3]],[[1,//,6],[-,1,//,2],[1,//,3]]]]]

Passo 6

A potência da matriz A é:

A^n = P A^n P^(- 1)

Aplicando:

A^n = [[[[[1],[2],[1]],[[1],[0],[-,1]],[[1],[-,1],[1]]]]] [[[1,0,0],[0,3,0],[0,0,4]]]^n [[[[[1,//,6],[1,//,2],[1,//,3]],[[1,//,3],[0],[-,1,//,3]],[[1,//,6],[-,1,//,2],[1,//,3]]]]]

Então: A^n = [[[[[1],[2],[1]],[[1],[0],[-,1]],[[1],[-,1],[1]]]]] [[[1^n,0,0],[0,3^n,0],[0,0,4^n]]] [[[[[1,//,6],[1,//,2],[1,//,3]],[[1,//,3],[0],[-,1,//,3]],[[1,//,6],[-,1,//,2],[1,//,3]]]]]

Resposta

A^n = [[[[[1],[2],[1]],[[1],[0],[-,1]],[[1],[-,1],[1]]]]] [[[1^n,0,0],[0,3^n,0],[0,0,4^n]]] [[[[[1,//,6],[1,//,2],[1,//,3]],[[1,//,3],[0],[-,1,//,3]],[[1,//,6],[-,1,//,2],[1,//,3]]]]]

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