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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 14

Nos Exercícios 12-15, encontre uma matriz P que diagonalize A e calcule P - 1 A P .

A = 1 0 0 0 1 1 0 1 1  

Passo 1

Primeiro vamos calcular os autovalores da matriz:

A = 1 0 0 0 1 1 0 1 1

Primeiro vamos calcular os autovalores da matriz:

det ⁡ λ I - A = 0

λ - 1 0 0 0 λ - 1 - 1 0 - 1 λ - 1 = 0

λ - 1 3 - λ - 1 = 0

λ - 1 λ - 2 λ = 0

Os autovalores são:

λ 1 = 1

λ 2 = 2

λ 3 = 0

Passo 2

Vamos calcular os Autovetores:

λ - 1 0 0 0 λ - 1 - 1 0 - 1 λ - 1 x 1 x 2 x 3 = 0

Para λ 1 = 1

0 0 0 0 0 - 1 0 - 1 0 x 1 x 2 x 3 = 0

Logo:

x 1 = t x 2 = x 3 = 0

O autovetor associado é:

λ 1 = 1 ⇒ x → 1 = t 1 0 0

A base do autovetor é:

p → 1 = 1 0 0

Passo 3

Para λ 2 = 2

1 0 0 0 1 - 1 0 - 1 1 x 1 x 2 x 3 = 0

Logo:

x 1 = 0 x 2 = x 3 = t

O autovetor associado é:

λ 2 = 2 ⇒ x → 2 = t 0 1 1

A base do autovetor é:

p → 2 = 0 1 1

Passo 4

Para λ 3 = 0

- 1 0 0 0 - 1 - 1 0 - 1 - 1 x 1 x 2 x 3 = 0

Logo:

x 1 = 0 x 2 = - x 3 = t

O autovetor associado é:

λ 3 = 0 ⇒ x → 3 = t 0 1 - 1

A base do autovetor é:

p → 3 = 0 1 - 1

Passo 5

Agora que temos os autovetores, podemos formar o vetor P a partir deles:

P = [ p → 1 p → 2 p → 3 ]

Logo:

P = 1 0 0 0 1 1 0 1 - 1

E vamos calcular a inversa por Eliminação Gaussiana:

P - 1 = 1 0 0 0 1 1 0 1 - 1 | | 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Vamos pegar a terceira linha e somar na segunda:

P - 1 = 1 0 0 0 2 1 0 0 - 1 | | 1 0 0 0 1 0 0 1 1

Vamos dividir a segunda linha por 2 , e a terceira linha por - 1

P - 1 = 1 0 0 0 1 - 1 0 0 1 | | 1 0 0 0 1 / 2 0 0 1 / 2 - 1

E pegamos a segunda linha e somamos na terceira:

P - 1 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 | | 1 0 0 0 1 / 2 1 / 2 0 1 / 2 - 1 / 2

A inversa é:

P - 1 = 1 0 0 0 1 / 2 1 / 2 0 1 / 2 - 1 / 2

Passo 6

Agora vamos calcular a matriz diagonal:

P - 1 A P = 1 0 0 0 1 / 2 1 / 2 0 1 / 2 - 1 / 2 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 - 1

Vamos multiplicar as duas primeiras matrizes:

P - 1 A P = 1 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 1 2 + 1 2 0 + 1 2 + 1 2 0 + 0 + 0 0 + 1 2 - 1 2 0 + 1 2 - 1 2 1 0 0 0 1 1 0 1 - 1

P - 1 A P = 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 - 1

Multiplicando mais uma vez obtemos a matriz resultante:

P - 1 A P = 1 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 1 + 1 0 + 1 - 1 0 0 0

P - 1 A P = 1 0 0 0 2 0 0 0 0

Resposta

P - 1 A P = 1 0 0 0 2 0 0 0 0

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Ache o polinômio característico, os autovalores e os autovetores de cada matriz:
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