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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.Exercícios Suplementares - Ex. 7

Encontre inteiros positivos que satisfaçam [[x,+,y,+,z,=,9],[x,+,5,y,+,10,z,=,44]]

Passo 1

Vemos que é um sistema com duas equações e três incógnitas. Então, podemos ficar atentos à necessidade de usar parâmetros para alguma incógnita.

Primeiramente, vamos escrever o sistema [[x,+,y,+,z,=,9],[x,+,5,y,+,10,z,=,44]] como uma matriz aumentada

([[[[1],[1]],[[1],[5]],[[[[1],[10]],[[9],[44]]]]]])

Passo 2

Para resolvermos esse sistema, vamos usa da eliminação de Gauss-Jordan

([[[[1],[1]],[[1],[5]],[[[[1],[10]],[[9],[44]]]]]]) underset(L_2 -> L_2 - L_1)(->) ([[[[1],[0]],[[1],[4]],[[[[1],[9]],[[9],[35]]]]]])

([[[[1],[0]],[[1],[4]],[[[[1],[9]],[[9],[35]]]]]]) underset(L_2 -> (1)/(4) L_2)(->) ([[[[1],[0]],[[1],[1]],[[[[1],[9,//,4]],[[9],[35,//,4]]]]]])

([[[[1],[0]],[[1],[1]],[[[[1],[9,//,4]],[[9],[35,//,4]]]]]]) underset(L_1 -> L_1 - L_2)(->) ([[[[1],[0]],[[0],[1]],[[[[-,5,//,4],[9,//,4]],[[1,//,4],[35,//,4]]]]]])

Passo 3

Vamos reescrever a matriz ([[[[1],[0]],[[0],[1]],[[[[-,5,//,4],[9,//,4]],[[1,//,4],[35,//,4]]]]]]) como um sistema linear

[[x,+,0,y,-,(5)/(4),z,=,(1)/(4),,],[0,x,+,y,+,(9)/(4),z,=,(35)/(4)]]

[[x,-,(5)/(4),z,=,(1)/(4),,],[y,+,(9)/(4),z,=,(35)/(4)]]

Passo 4

Vamos atribuir um parâmetro à incógnita z o parâmetro s e isolar as incógnitas x e y .

z = s

[[x,=,(1)/(4),+,(5)/(4),s,,],[y,=,(35)/(4),-,(9)/(4),s]]

Passo 5

Agora, devemos testar valores para o parâmetro s que resultem em x e y inteiros.

  • Se s = 2

    • [[x,=,(1)/(4),+,(5)/(4),s,,],[y,=,(35)/(4),-,(9)/(4),s]] -> [[x,=,(1)/(4),+,(5)/(4),(,2,),,],[y,=,(35)/(4),-,(9)/(4),(,2,)]]

    [[x,=,(1)/(4),+,(5)/(4),(,2,),,],[y,=,(35)/(4),-,(9)/(4),(,2,)]] -> [[x,=,(1)/(4),+,(10)/(4),,],[y,=,(35)/(4),-,(18)/(4)]]

    [[x,=,(1)/(4),+,(10)/(4),,],[y,=,(35)/(4),-,(18)/(4)]] -> [[x,=,(1 1)/(4),,],[y,=,(17)/(4)]]

    Para s = 2 , x e y não são inteiros. Portanto, não satisfaz

  • Se s = 3

[[x,=,(1)/(4),+,(5)/(4),s,,],[y,=,(35)/(4),-,(9)/(4),s]] -> [[x,=,(1)/(4),+,(5)/(4),(,3,),,],[y,=,(35)/(4),-,(9)/(4),(,3,)]]

[[x,=,(1)/(4),+,(5)/(4),(,3,),,],[y,=,(35)/(4),-,(9)/(4),(,3,)]] -> [[x,=,(1)/(4),+,(15)/(4),,],[y,=,(35)/(4),-,(27)/(4)]]

[[x,=,(1)/(4),+,(15)/(4),,],[y,=,(35)/(4),-,(27)/(4)]] -> [[x,=,(1 6)/(4),,],[y,=,(8)/(4)]]

[[x,=,(16)/(4),,],[y,=,(8)/(4)]] -> [[x,=,4,,],[y,=,2]]

Portanto, se s = 3 , x e y são inteiros. Portanto, satisfaz

Como s = 3 , z = 3 .

Resposta

Portanto, a solução que satisfaz as condições é dada por: [[[[x,=,4,,],[y,=,2]]],[z,=,3]]

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