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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.9 - Ex. 20c

Encontre a matriz canônica do operador que efetua a rotação de um vetor em R 3 por um ângulo de - 60 ° em torno do eixo z .

Passo 1

Para começar temos que lembrar que a matriz canônica de rotação em torno do eixo z é:

cos ⁡ θ - sen ⁡ θ 0 sen ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 1

Sendo θ o ângulo de rotação do vetor:

p a r a   r o t a ç õ e s   n o   s e n t i d o   h o r á r i o   o   v a l o r   d e   θ   é   n e g a t i v o           p a r a   r o t a ç õ e s   n o   s e n t i d o   a n t i - h o r á r i o   o   v a l o r   d e   θ   é   p o s i t i v o

Passo 2

Agora escrevemos as equações em forma de matriz para uma rotação de - 60 ° , dessa forma temos:

R - 60 ° z → = cos ⁡ - 60 ° - sen ⁡ - 60 ° 0 sen ⁡ - 60 ° cos ⁡ - 60 ° 0 0 0 1

Passo 3

Organizando a matriz canônica e substituindo os valores obtemos

R - 60 ° z → = 1 2 3 2 0 - 3 2 1 2 0 0 0 1

Resposta

R - 60 ° z → = 1 2 3 2 0 - 3 2 1 2 0 0 0 1

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